[논문 리뷰] Variational Quantum Fidelity Estimation

M. Cerezo, Alexander Poremba외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 저랭크 상태 $\rho$ 에서 양자 상태 허상도 $F(\rho,\sigma)$ 에 대한 조정 가능하고 단조롭게 강화되는 상한 및 하한을 계산하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 변분 양자 허상도 추정(Variational Quantum Fidelity Estimation, VQFE)을 소개한다. 변분 대각화를 통해 $\rho$ 를 다루고, $\rho$ 의 고유기저에서 $\sigma$ 의 행렬 원소를 추정하며, 잘라낸 허상도를 활용함으로써 VQFE 는 $\widetilde{O}(m^6/\zeta^2)$ 의 런타임과 $\gamma$ 의 덧셈 오차를 달성하며, 이 오차는 $m$ 에 따라 감소한다. 이는 이전의 SSFB 와 같은 경계들보다 더 강한 경계와 더 적은 큐비트 요구량을 제공한다.

ABSTRACT

Computing quantum state fidelity will be important to verify and characterize states prepared on a quantum computer. In this work, we propose novel lower and upper bounds for the fidelity $F(ρ,σ)$ based on the "truncated fidelity" $F(ρ_m, σ)$, which is evaluated for a state $ρ_m$ obtained by projecting $ρ$ onto its $m$-largest eigenvalues. Our bounds can be refined, i.e., they tighten monotonically with $m$. To compute our bounds, we introduce a hybrid quantum-classical algorithm, called Variational Quantum Fidelity Estimation, that involves three steps: (1) variationally diagonalize $ρ$, (2) compute matrix elements of $σ$ in the eigenbasis of $ρ$, and (3) combine these matrix elements to compute our bounds. Our algorithm is aimed at the case where $σ$ is arbitrary and $ρ$ is low rank, which we call low-rank fidelity estimation, and we prove that a classical algorithm cannot efficiently solve this problem. Finally, we demonstrate that our bounds can detect quantum phase transitions and are often tighter than previously known computable bounds for realistic situations.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 계산을 검증하는 데 핵심적인, 저랭크 양자 상태 $\rho$ 와 임의의 상태 $\sigma$ 간의 허상도를 추정하기 위한 효율적인 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 개발하는 것.
• 표준 복잡도 가정 하에 $\rho$ 가 저랭크일 경우 고전적으로 허상도를 추정하는 것이 계산적으로 불가능하다는 점을 다루는 것.
• $\rho$ 의 $m$ 개의 가장 큰 고유값을 유지한 잘라낸 형태에서 $F(\rho,\sigma)$ 의 경계가 $m$ 이 증가함에 따라 단조롭게 강화되는 것을 보장하는 것.
• 이전 방법들인 SSFB 와 비교해 $4n+1$ 큐비트에서 $2n+1$ 큐비트로 자원 오버헤드를 줄이는 것.

제안 방법

• $\rho$ 의 고유기저를 준비하기 위해 $\rho$ 의 변분 대각화를 수행하며, 매개변수화된 양자 회로를 사용해 가장 큰 고유값과 고유벡터를 추정한다.
• Swap Test 를 $2n+1$ 큐비트에서 사용하여 $\rho$ 의 고유기저에서의 행렬 원소 $\sigma_{ij} = \langle \psi_i | \sigma | \psi_j \rangle$ 를 추정한다.
• 고유값의 $m$ 개의 가장 큰 값에 대해 투영된 $\rho_m$ 에 대한 잘라낸 허상도 $F(\rho_m, \sigma)$ 를 계산함으로써 경계를 생성한다.
• 허상도 스펙트럼과 섭동 이론에서 유도된 새로운 부등식을 활용해 $F(\rho,\sigma)$ 의 상한 및 하한을 구성한다.
• 집중 경계와 오차 전파를 사용해 총 덧셈 오차 $\gamma$ 를 경계하며, 이는 $\epsilon = \|\rho - \rho_m\|_1$, $C$ (대각화 오차), $\zeta$ (추정 정밀도) 에 의존한다.
• 모든 잘라낸 허상도 $F(\rho_m, \sigma)$ 의 집합인 허상도 스펙트럼을, 단일 허상도 값보다 더 풍부한 상태 유사성 특성화로 활용한다.

Figure 1: The VQFE algorithm. (1) First, $\rho$ is diagonalized with a hybrid quantum-classical optimization loop, outputting the largest eigenvalues $\{r_{i}\}$ of $\rho$ and a gate sequence that prepares the associated eigenvectors. (2) Second, a hybrid quantum-classical computation gives the matr

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 가정 하에 고전 알고리즘이 실패하는 저랭크 상태에서, 효율적으로 양자 상태 허상도를 추정할 수 있는가?
• RQ2 유지된 고유모드의 수인 $m$ 이 증가함에 따라 단조롭게 강화되는 허상도 경계를 제공하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 정확도와 자원 비용 측면에서, 최신의 부분- 및 초-허상도 경계(SSFB)와 비교해 성능이 어떻게 되는가?
• RQ4 단일 허상도 값보다 더 풍부한 정보를 제공할 수 있는가?
• RQ5 목표로 하는 허상도 근사 정밀도를 달성하기 위해 제안된 알고리즘의 양자 회로 복잡도와 오차 스케일링은 어떻게 되는가?

주요 결과

• VQFE 는 $\widetilde{O}(m^6/\zeta^2)$ 의 런타임을 달성하며, 덧셈 오차 $\gamma = \sqrt{2\epsilon + (2+\sqrt{2})\sqrt{mC}} + \sqrt{\epsilon + \sqrt{mC}} + \zeta\|T\|$, 여기서 $\epsilon = \|\rho - \rho_m\|_1$, $C$ 는 대각화 오차, $\zeta$ 는 추정 정밀도를 제어하는 것으로 나타났다.
• 알고리즘은 $1-\delta$ 이상의 확률로 $F(\rho,\sigma)$ 의 $\pm\gamma$ 근사값을 출력하며, 오차 $\gamma$ 는 $m$ 이 증가함에 따라 단조롭게 감소한다.
• VQFE 는 SSFB 방법이 요구하는 $4n+1$ 큐비트보다 훨씬 적은 $2n+1$ 큐비트만 필요로 하여 자원 효율성을 향상시켰다.
• 수치적 시뮬레이션에서 VQFE 의 경계는 SSFB 경계보다 더 날카롭게 나타났으며, 특히 현실적인 저랭크 시나리오에서 두드러졌다. 또한, 허상도 스펙트럼을 추적함으로써 양자 상전이를 감지할 수 있었다.
• 허상도 스펙트럼은 모든 잘라낸 허상도 $F(\rho_m, \sigma)$ 의 집합으로 정의되며, 단일 허상도 값보다 상태 유사성에 대해 더 풍부한 정보를 제공한다.
• 이론적 분석을 통해 표준 복잡도 가정 하에 고전 알고리즘이 저랭크 허상도 추정 문제를 효율적으로 해결할 수 없음을 증명하였으며, 이는 VQFE 와 같은 양자 알고리즘의 필요성을 정당화한다.

Figure 2: Implementations of VQFE on IBM’s quantum computer simulator. The left (right) panel shows bounds on $F(\rho,\sigma)$ (solid straight line) versus $m$ for a random state $\sigma$ and a tensor product state $\rho$ of $n=3$ $(n=6)$ qubits with $\text{rank}(\rho)=4$ $(\text{rank}(\rho)=8)$ . D