[논문 리뷰] Variational Theory of Mixtures in Continuum Mechanics

Henri Gouin|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 28.

Phase Equilibria and Thermodynamics참고 문헌 23인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 프레임워크에서 해밀턴의 원리를 사용하여 혼합 가능한 유체 혼합물에 대한 변분 형식을 개발한다. 각 성분을 별개의 연속체로 간주하며, 임의의 상호작용 항을 도입하지 않고 열역학적으로 일관된 운동 방정식과 에너지 방정식을 유도한다. 이는 기울기 의존 내부 에너지를 통해 경계면 층에서 표면 장력의 엄밀한 유도를 가능하게 하며, 아ntonov의 법칙과 일관된다.

ABSTRACT

In continuum mechanics, the equations of motion for mixtures are derived through the use of Hamilton's extended principle which regards the mixture as a collection of distinct continua. The internal energy is assumed to be a function of densities, entropies and successive spatial gradients of each constituent. We first write the equations of motion for each constituent of an inviscid miscible mixture of fluids without chemical reactions or diffusion. Our work leads to the equations of motion in an universal thermodynamic form in which interaction terms subject to constitutive laws, difficult to interpret physically, do not occur. For an internal energy function of densities, entropies and spatial gradients, an equation describing the barycentric motion of the constituents is obtained. The result is extended for dissipative mixtures and an equation of energy is obtained. A form of Clausius-Duhem's inequality which represents the second law of thermodynamics is deduced. In the particular case of compressible mixtures, the equations reproduce the classical results. Far from critical conditions, the interfaces between different phases in a mixture of fluids are layers with strong gradients of density and entropy. The surface tension of such interfaces is interpreted.

연구 동기 및 목표

• 상호작용 항에 대한 구성 법칙에 의존하지 않고도 혼합 가능한 유체 혼합물에 대한 체계적인 변분 프레임워크를 개발하는 것.
• 연속체 혼합물 이론에서 엔트로피, 온도, 제2법칙 열역학에 대한 모호함을 해결하는 것.
• 보존적 및 소산적 혼합물에 모두 적용 가능한 보편적인 열역학적 형태의 운동 및 에너지 방정식을 도출하는 것.
• 공존하는 상들 사이의 얇은 경계면 층에서 내부 에너지 기울기의 관점에서 표면 장력을 해석하는 것.
• 기울기 항이 없는 경우 고전적인 압축성 혼합물 결과를 회복할 수 있도록 기존 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 각 성분에 대해 참조 구성형을 사용하는 라그랑주 표현을 사용하여 해밀턴의 확장 원리를 적용한다.
• 내부 에너지가 각 성분의 밀도 및 엔트로피와 그들의 연속적인 공간 기울기의 함수로 간주된다.
• 변분 미적분을 통해 운동 방정식을 유도하며, 경험적으로 가정된 상호작용 항이 없는 열역학적 형태를 얻는다.
• 내부 에너지 함수에서 유도된 응력 텐서를 도입하며, 계수 $ C_i = 2 horac{eta_i}{ ho} $ 와 $ D = horac{eta_i}{ ho} $ 를 통해 기울기 기여를 포함한다.
• 각 성분의 운동을 별도로 변분시키는 원리를 사용하여 질량중심 운동 방정식을 도출한다.
• 等온 및 등엔트로피 근사에 적용하고, 클라우지우스-두헤무 불평형식의 형태를 사용하여 소산적 혼합물로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비물리적 상호작용 항을 도입하지 않고도 혼합 가능한 유체 혼합물에 대해 일관된 변분 원리를 적용할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 각 성분이 자체의 엔트로피와 밀도를 가질 때 혼합물의 운동 및 에너지에 대한 올바른 열역학적 형식은 무엇인가?
• RQ3 기울기 의존 내부 에너지 함수에서 유체 경계면의 표면 장력을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 변분적, 장이론적 접근을 통해 고전적인 아ntonov의 법칙(표면 장력에 대한 법칙)을 회복할 수 있는가?
• RQ5 내부 에너지에 공간 기울기를 포함시키면 경계면 층의 물리적으로 의미 있는 기술이 어떻게 가능해지는가?

주요 결과

• 변분 방법은 상호작용력에 대한 구성 법칙이 필요 없이 보편적인 열역학적 형태의 운동 방정식을 도출한다.
• 평평한 경계면의 경우, 가장자리 단위 길이당 작용하는 선력은 $ H = H_1 + H_2 + H_{1.2} $ 로 주어지며, 여기서 $ H_1 $, $ H_2 $, $ H_{1.2} $ 는 각각 개별 상의 표면 장력과 그 상호작용을 나타낸다.
• 경계면 장력 $ H $ 는 내부 에너지의 기울기 항의 적분으로부터 도출되며, $ H_1 = ho ho_1 rac{eta_1}{ ho_1} $, $ H_2 = ho ho_2 rac{eta_2}{ ho_2} $, $ H_{1.2} = 2D ho rac{eta_{12}}{ ho} $ 로 표현되며, 아antonov의 법칙과 일관된다.
• 기울기가 없는 균질한 상에서는 응력 텐서가 수압으로 간소화되며, $ ho_1^2 rac{eta_1}{ ho_1} $ 와 $ ho_2^2 rac{eta_2}{ ho_2} $ 는 각 상의 압력에 해당한다.
• 기울기 항을 忽略할 경우 고전적인 탄성 혼합물 결과를 재현한다.
• 유도된 클라우지우스-두헤무 불평형식은 소산적 혼합물에서 열역학 제2법칙이 만족됨을 보장한다.