[논문 리뷰] Varieties of bicommutative algebras

Vesselin Drensky|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 13.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특성 0의 체 위에서 이중교환 법칙을 만족하는 대수의 부분다양체의 코드림이 성장을 조사한다. 특정 다항식 항등식을 만족하는 모든 부분다양체는 차수 $k$의 다항식으로 유계인 코드림 수열을 가지며, 이는 모든 이중교환 법칙 대수의 다양체 $\mathfrak{B}$가 지수 2로 최소임을 증명한다. 논문은 또한 두 차원 대수 $A_{1,-1}$가 전체 다양체 $\mathfrak{B}$를 생성함을 보이며, $A_{0,1}$과 $A_{1,0}$은 각각 좌측 및 우측 근본성 항등식을 생성한다.

ABSTRACT

Bicommutative algebras are nonassociative algebras satisfying the polynomial identities of right- and left-commutativity (xy)z=(xz)y and x(yz)=y(xz). We study subvarieties of the variety of all bicommutative algebras over a field of characteristic 0. We prove that if the subvariety satisfies a polynomial identity of degree k, then its codimension sequence is bounded by a polynomial of degree k-1. Since the exponent of the variety of all bicommutative algebras is equal to 2, this gives that it is minimal with respect to the codimension growth. Up to isomorphism there are three one-generated two-dimensional bicommutative algebras with one-dimensional square which are nonassociative. We present bases of their polynomial identities and show that one of these algebras generates the whole variety of bicommutative algebras.

연구 동기 및 목표

• 특성 0의 체 위에서 이중교환 법칙 대수 다양체 $\mathfrak{B}$ 내의 부분다양체의 코드림 성장을 분석하는 것.
• 다항식 항등식을 만족하는 부분다양체 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$에 대해 코드림 수열 $c_n(\mathfrak{V})$의 渐近적 행동을 규명하는 것.
• 차원이 1인 $\dim A^2$를 가진 두 차원 비결합 이중교환 법칙 대수를 분류하고, 전체 다양체 $\mathfrak{B}$를 생성하는 대수를 규명하는 것.
• 다양체 $\mathfrak{B}$가 코드림 성장에 대해 최소임을 증명하며, 지수 2를 가지며, 어떤 진부분다양체도 지수 2를 가질 수 없음을 보이는 것.

제안 방법

• 논문은 수량 무한의 자유 이중교환 법칙 대수 $F(\mathfrak{B})$를 다항식 항등식 분석의 기초로 사용한다.
• 코드림 수열 $c_n(\mathfrak{V})$를 항등식 복잡도의 척도로 사용하며, 지수 $\exp(\mathfrak{V}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n(\mathfrak{V})}$로 정의한다.
• 정의 항등식의 차수 $k$에 따라 $c_n(\mathfrak{V})$의 상한을 유도하여, 이가 차수 $k-1$의 다항식으로 유계임을 보인다.
• 일반 원소에 대해 항등식을 평가함으로써, 세 개의 한 생성자로 이루어진 두 차원 이중교환 법칙 대수 $A_{0,1}, A_{1,0}, A_{1,-1}$의 구조를 곱셈 규칙을 통해 분석한다.
• 선형 대수적 접근을 통해 유한 차원 대수의 코드림을 $A^k$의 차원과 $\dim(A)^n$을 통해 유계화하여, 부등식 $c_n(A) \leq \dim(A^k) \cdot \dim^n(A)$를 이끌어낸다.
• 알고리즘 $A_{1,-1}$이 $\mathfrak{B}$를 생성함을 증명하는 데에는, 이 대수가 한 변수에서 비자명한 항등식을 만족하지 않음을 보여, 전체 다양체를 생성함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중교환 법칙 대수 다양체 $\mathfrak{B}$의 진부분다양체 $\mathfrak{V}$에 대해 가능한 최대 코드림 성장은 무엇인가?
• RQ2 다양체 $\mathfrak{B}$는 자유 한 차원 대수로 생성될 수 있는가, 아니면 더 높은 랭크가 필요한가?
• RQ3 차원이 1인 $\dim A^2$를 가진 두 차원 이중교환 법칙 대수 중에서 전체 다양체 $\mathfrak{B}$를 생성하는 것은 무엇인가?
• RQ4 다항식 항등식의 차수와 $\mathfrak{B}$의 부분다양체에서 코드림 수열의 성장률 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 대수 $A_{0,1}$과 $A_{1,0}$은 계급 3의 좌측 및 우측 근본성 이외에 다른 항등식을 만족하는가?

주요 결과

• 다항식 항등식을 만족하는 임의의 부분다양체 $\mathfrak{V} \subset \mathfrak{B}$에 대해 코드림 수열 $c_n(\mathfrak{V})$는 차수 $k-1$의 다항식으로 유계이다.
• 모든 이중교환 법칙 대수의 다양체 $\mathfrak{B}$는 $n \geq 2$일 때 코드림 수열 $c_n(\mathfrak{B}) = 2^n - 2$이며, 따라서 $\exp(\mathfrak{B}) = 2$이다.
• 다양체 $\mathfrak{B}$는 코드림 성장에 대해 최소이며, 임의의 진부분다양체 $\mathfrak{V}$에 대해 $\exp(\mathfrak{V}) \leq 1$이다.
• 곱셈 규칙 $rr^2 = r^2$, $r^2r = -r^2$, $r^2r^2 = -r^2$로 정의된 대수 $A_{1,-1}$은 전체 다양체 $\mathfrak{B}$를 생성한다.
• 대수 $A_{0,1}$과 $A_{1,0}$은 각각 항등식 $x_1(x_2x_3) = 0$과 $(x_1x_2)x_3 = 0$을 만족하며, 이는 각각 좌측 및 우측 근본성 계급 3에 해당한다.
• $A_{1,-1}$의 코드림은 $c_n(A_{1,-1}) = 2^n - 2$를 만족하며, 이는 $c_n(\mathfrak{B})$와 일치하여 전체 다양체를 생성함을 확인한다.