[논문 리뷰] Varieties of Languages in a Category

Jiřı́ Adámek, Stefan Milius외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 21.

semigroups and automata theory참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Eilenberg의 다양체 정리( variety theorem)를 추상적인 범주론적 프레임워크로 일반화하며, 유한 객체에서 상호 예비 dual인 범주 𝒞와 그 쌍대 닫힌 모나드 범주 𝒟 사이에서, 𝒞 내의 언어 다양체와 𝒟 내의 모노이드의 준다양체 사이에 이항 대응 관계를 수립한다. 주요 기여는 Eilenberg 원래의 정리와 순서 모노이드, 아이디포텐트 세미링, 유한 체 위의 대수에 대한 변형들을 포함하는 통일된 범주론적 기반을 제공하는 것으로, 이는 영향력 있는 새로운 대응 관계를 모노이드에 0을 포함한 경우에 도출한다.

ABSTRACT

Eilenberg's variety theorem, a centerpiece of algebraic automata theory, establishes a bijective correspondence between varieties of languages and pseudovarieties of monoids. In the present paper this result is generalized to an abstract pair of algebraic categories: we introduce varieties of languages in a category C, and prove that they correspond to pseudovarieties of monoids in a closed monoidal category D, provided that C and D are dual on the level of finite objects. By suitable choices of these categories our result uniformly covers Eilenberg's theorem and three variants due to Pin, Polak and Reutenauer, respectively, and yields new Eilenberg-type correspondences.

연구 동기 및 목표

• Eilenberg의 다양체 정리와 그 알려진 변형들(핀, 폴락, 루텐auer)을 하나의 추상적 범주론적 프레임워크 아래 통합하기 위해.
• 쌍대 범주에서 언어 다양체와 모노이드 준다양체 사이의 일반적 대응 관계를 수립하기 위해.
• 범주 쌍 (𝒞, 𝒟)의 조건을 통해 Eilenberg 유형 정리의 범위를 모노이드에 0을 포함한 새로운 대수적 구조로 확장하기 위해.
• 정규 언어와 행동에 대한 코알제브라 기반을 합리적 고정점과 내림형자(functor)를 통해 제공하기 위해.
• 일반적인 프로파이트 구성과 문법적 모노이드를 임의의 예비 쌍대 범주 쌍에 대해 일반화하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 지역적으로 유한한 범주 𝒞에서 정의된 내림형자 TΣ에 대해, 결정적 Σ-자동기를 TΣQ → Q 형태의 코알제브라로 모델링한다.
• TΣ-코알제브라 중에서 국소적으로 유한한 종단(coalgebra)인 합리적 고정점 ϱTΣ를 정의하여, Σ 위의 정규 언어 전체 집합을 표현한다.
• 각 유한 알파벳 Σ에 대해 ϱTΣ를, 그리고 각 치환 h:Δ→Σ에 대해 전이 사상 ϱTΣ → ϱTΔ를 정의하는 반대함수 ϱT: Set_f^op → 𝒞를 구성한다.
• 언어 다양체를 ϱT의 부분함수 V ⊆ ϱT로 특성화하며, 이는 전이 사상과 도함수(좌/우)에 대해 닫혀 있음을 일반화하여 부울 연산과 사상에 대한 닫힘 성질을 포괄한다.
• 범주 𝒞와 𝒟 사이에 이중성(duality)을 수립하여, 𝒞와 𝒟의 유한 대수들이 상호 쌍대 동치가 되도록 하며, 언어 다양체와 모노이드 준다양체 사이의 대응 관계를 가능하게 한다.
• 𝒟에서의 닫힌 모나드 구조를 이용해 𝒟-모노이드를 정의하고, 이러한 𝒟-모노이드의 준다양체가 𝒞 내의 행동 다양체와 이항 대응 관계에 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Eilenberg의 다양체 정리는 고전적 모노이드를 초월하여 범주론을 통해 다른 대수적 구조로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 언어 다양체의 닫힘 성질(예: 부울 연산, 도함수, 전이 사상)이 코알제브라적이고 범주론적인 프레임워크에서 어떻게 통일적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 쌍대 범주 쌍 (𝒞, 𝒟)에 대해 어떤 조건이 언어 다양체와 𝒟-모노이드 준다양체 사이의 이항 대응 관계를 보장하는가?
• RQ4 기존의 Eilenberg 정리의 변형들—예를 들어 순서 모노이드, 아이디포텐트 세미링, 유한 체 위의 대수에 대한 것들—이 하나의 범주론적 구성의 특수한 경우로 유도될 수 있는가?
• RQ5 이 일반적 프레임워크에서 어떤 새로운 Eilenberg 유형 대응 관계가 도출되며, 예를 들어 0을 포함한 모노이드나 다른 대수적 체계에 대해 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 Eilenberg 유형 대응 관계를 수립한다: 𝒞 내의 행동 다양체의 격자와 𝒟-모노이드의 준다양체의 격자가, 𝒞와 𝒟 사이의 예비 쌍대성 조건 하에 이somorphism이다.
• Eilenberg 원래의 정리는 𝒞 = 부울 대수, 𝒟 = 집합일 때 특수한 경우로 나타나며, 이 경우 𝒟-모노이드는 일반적인 모노이드가 된다.
• 핀의 정리—양의 언어 다양체와 순서 모노이드의 준다양체 사이의 대응—는 𝒞 = 0,1를 가진 분배 랏, 𝒟 = 순서집합일 때 회복된다.
• 폴락의 결과—분리 가능한 언어 다양체와 아이디포텐트 세미링의 준다양체 사이의 대응—는 𝒞 = 0을 가진 조인-세미랫, 𝒟 = 𝒞(자기 예비 쌍대)일 때 도출되며, 이 경우 𝒟-모노이드는 아이디포텐트 세미링이 된다.
• 루텐auer의 대응 관계—유리적 거듭제곱 급수와 유한 체 𝕂 위의 대수에 대한 것—은 𝒞 = 𝒟 = 𝕂-벡터공간일 때 회복되며, 이 경우 𝒟-모노이드는 𝕂-대수가 된다.
• 모노이드에 0을 포함한 경우에 대해 새로운 Eilenberg 유형 대응 관계가 유도되며, 이는 𝒞 = 비단위 부울 링, 𝒟 = 점이 있는 집합일 때 실현되며, 이 경우 𝒟-모노이드는 0을 포함한 모노이드가 된다.