[논문 리뷰] Various notions of best approximation property in spaces of Bochner integrable functions

Tanmoy Paul|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 11.

Advanced Banach Space Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 $X$ 의 분리 가능한 근사 부분공간 $Y$ 에 대해, $1 \leq p < \infty$ 에서 $L^p(I, Y)$ 가 $L^p(I, X)$ 에서 $Y$ 로부터 강한 근사성과 구 근사성을 상속함을 증명한다. $p = \infty$ 에서는 균일 근사성이 필요하다. 핵심 기여는 균일 근사성의 특성화를 위한 $1\frac{1}{2}$-구 성질을 제시하는 것으로, 보처르 공간으로의 확장과 함께 M-아이디얼의 단위구와 3.2.I.P. 를 갖는 공간들에서의 새로운 균일 근사성 집합 클래스를 규명한다.

ABSTRACT

We derive that for a separable proximinal subspace $Y$ of $X$, $Y$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) if and only if for $1\leq p< \infty$, $L_p(I,Y)$ is strongly proximinal (strongly ball proximinal) in $L_p(I,X)$. Case for $p=\infty$ follows from stronger assumption on $Y$ in $X$ (uniform proximinality). It is observed that for a separable proximinal subspace $Y$ in $X$, $Y$ is ball proximinal in $X$ if and only if $L_p(I,Y)$ is ball proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p\leq\infty$. Our observations also include the fact that for any (strongly) proximinal subspace $Y$ of $X$, if every separable subspace of $Y$ is ball (strongly) proximinal in $X$ then $L_p(I,Y)$ is ball (strongly) proximinal in $L_p(I,X)$ for $1\leq p<\infty$. We introduce the notion of uniform proximinality of a closed convex set in a Banach space, which is wrongly defined in \cite{LZ}. Several examples are given having this property, viz. any $U$-subspace of a Banach space, closed unit ball $B_X$ of a space with $3.2.I.P$, closed unit ball of any M-ideal of a space with $3.2.I.P.$ are uniformly proximinal. A new class of examples are given having this property.

연구 동기 및 목표

• 부분공간 $Y$ 에서의 강한 근사성과 구 근사성이 보처르 공간 $L^p(I, Y)$ 로 어떻게 상속되는지 조사한다.
• 바나흐 공간 내 균일 근사성의 정의를 명확히 하고 수정한다.
• 특히 M-아이디얼의 닫힌 단위구와 3.2.I.P. 를 갖는 공간들에서의 새로운 균일 근사성 집합 클래스를 규명한다.
• $L^p(I, Y)$ 가 $L^p(I, X)$ 내에서 강하게 근사성 또는 구 근사성이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 설정한다.

제안 방법

• 근사성과 그 강화 개념을 정의하기 위해 거리 함수 $d(x, C)$ 와 사영 $P_C(x)$ 를 사용한다.
• 강한 구 근사성의 특성화를 위해 $1\frac{1}{2}$-구 성질을 적용하며, 이를 얀스의 개념으로 일반화한다.
• 구간 $I = [0,1]$ 과 르베그 측도를 갖는 보처르 $L^p$-공간의 구조를 활용하여 근사 성질의 안정성 분석을 수행한다.
• 3.2.I.P. (세 구의 교차 성질) 를 활용하여, $X$ 가 이 성질을 갖는다면 $B_X$ 가 균일 근사성임을 증명한다.
• 거리 공식과 집합론적 특성화(예: $P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$) 를 사용하여 조건의 동치성을 증명한다.
• 반례(예: 예제 3.9) 를 구성하여, $B_Y$ 가 강하게 근사성이더라도 $L^\infty(I, Y)$ 는 강하게 근사성이 아님을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $1 \leq p < \infty$ 에 대해 부분공간 $Y$ 의 강한 근사성이 $L^p(I, Y)$ 가 $L^p(I, X)$ 내에서 강하게 근사성이 되는가?
• RQ2 $1\frac{1}{2}$-구 성질을 사용하여 $B_Y$ 가 $X$ 에서 균일 근사성임을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 바나흐 공간 $X$ 가 3.2.I.P. 를 갖는다면 $B_X$ 는 균일 근사성이 되는가?
• RQ4 $p = \infty$ 에서 $L^p$-공간 구성은 구 근사성에 대해 안정적인가?
• RQ5 균일 볼록 공간 외에 새로운 균일 근사성 집합 클래스는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $1 \leq p < \infty$ 에 대해, $X$ 의 분리 가능한 근사 부분공간 $Y$ 는 $L^p(I, Y)$ 가 $L^p(I, X)$ 내에서 강하게 근사성(또는 강한 구 근사성)이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 만족한다.
• 모든 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해, $Y$ 가 $X$ 에서 구 근사성임은 $L^p(I, Y)$ 가 $L^p(I, X)$ 내에서 구 근사성임과 동치이다.
• $B_Y$ 가 $X$ 에서 $1\frac{1}{2}$-구 성질을 갖는 것은 모든 $x \in X$ 와 $\delta > 0$ 에 대해 $P_{B_Y}(x, \delta) = P_{B_Y}(x)_\delta \cap B_Y$ 와 동치이며, 이는 강한 구 근사성을 함의한다.
• 만약 $X$ 가 3.2.I.P. 를 갖는다면 $B_X$ 는 균일 근사성이며, 따라서 $L^1(I, X)$ 와 $L^\infty(I, X)$ 는 $1\frac{1}{2}$-구 성질을 상속한다.
• 만약 $Y$ 가 3.2.I.P. 를 갖는 바나흐 공간 $X$ 의 M-아이디얼이라면, $B_Y$ 는 $X$ 에서 균일 근사성이며, $L^1(I, Y)$ 와 $L^\infty(I, Y)$ 는 이 성질을 상속한다.
• 바나흐 공간 $X$ 의 닫힌 단위구 $B_X$ 는 $B_{L^1(I,X)}$ 와 $B_{L^\infty(I,X)}$ 가 모두 균일 근사성임과 동치이며, 이는 추론 6.8 에 의해 보여진다.