[논문 리뷰] "Varopoulos paradigm": Mackey property vs. metrizability in topological groups

Lydia Außenhofer, Daniel de la Barrera Mayoral외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 군이 모든 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상임을 만족하는 바르코플로스 프레디그램을 만족하는 것과 군이 유한 지수(즉, 유계)일 때이고 그뿐일 때만 성립함을 증명한다. 저자들은 비유계 아벨 군 위의 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상이 되지 못함을, 쌍대 이론과 특성군 분석을 통해 증명하여 모든 비유계 경우에 비매크리 위상이 존재함을 보였다.

ABSTRACT

The class of all locally quasi-convex (lqc) abelian groups contains all locally convex vector spaces (lcs) considered as topological groups. Therefore it is natural to extend classical properties of locally convex spaces to this larger class of abelian topological groups. In the present paper we consider the following well known property of lcs: "A metrizable locally convex space carries its Mackey topology ". This claim cannot be extended to lqc-groups in the natural way, as we have recently proved with other coauthors (\cite{AD}, \cite{DMPT}). We say that an abelian group $G$ satisfies the \emph{Varopoulos paradigm} (VP) if any metrizable locally quasi-convex topology on $G$ is the Mackey topology. Surprisingly VP - which is a topological property of the group - is characterizes an algebraic feature, namely being of finite exponent.

연구 동기 및 목표

• 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 아벨 군에서 매크리 위상이 되는 데 필요한 대수적 조건을 규명하는 것.
• 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 아벨 군의 더 넓은 범주로 확장되었을 때, 국소凸공간에서의 고전적 결과—즉, 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상임—이 성립하는지 조사하는 것.
• 모든 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상이 되는 아벨 군의 집합을 특성화하고, 이것이 유계(유한 지수) 군의 집합임을 밝혀내는 것.
• 로컬리 쿼지컨벡스 아벨 군의 매크리 문제를 해결하기 위해, 호환 가능한 위상들 중 최상위 위상의 존재가 유계성과 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 아벨 위상군에서의 쌍대 이론, 특히 특성군 $G^\wedge = \text{Hom}(G, \mathbb{T})$ 의 사용.
• 로컬리 쿼지컨벡스 위상의 개념과 그 이중 군과의 호환성 적용.
• 주어진 군을 $p$-성분으로의 직합 분해를 통해 비유계 아벨 군 위에 비매크리 메트라이잭블 위상을 구성하는 것.
• 예를 들어 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, 및 $\bigoplels_{n} \mathbb{Z}_{p^n}$ 등의 부분군에서 비매크리 위상이 존재한다는 기존 결과를 활용하는 것.
• 모든 원소의 차수가 유한함과 유계성이 동치임을 이용하고, 이로부터 최상위 호환 위상의 존재를 유도하는 것.
• 감소형 순환군의 경우, 기본 부분군이 유계라고 가정하면 몫군의 구조와 모순됨을 보여 반증을 통해 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소凸공간에서의 고전적 매크리 성질이 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 아벨 군으로 확장되는가?
• RQ2 아벨 군의 어떤 대수적 조건이 모든 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상이 되도록 보장하는가?
• RQ3 비유계 아벨 군 위에 비매크리 메트라이잭블 위상을 구성할 수 있는가?
• RQ4 로컬리 쿼지컨벡스 군의 범주에서 최상위 호환 위상의 존재(즉, 매크리 위상)가 유계성과 동치인가?
• RQ5 특성군 $G^\wedge$ 의 구조는 아벨 위상군에서 매크리 성질과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 아벨 군이 모든 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상임을 만족하는 바르코플로스 프레디그램을 만족하는 것과 군이 유계(즉, 유한 지수)일 때이고 그뿐일 때만 성립한다.
• 비유계 아벨 군의 경우, 항상 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상이 아니며, 이는 $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$, 또는 $\bigoplus_{i} \mathbb{Z}_{p^{n_i}}$ 에의 하위군 포함을 통해 보여진다.
• 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상 $\tau_{\mathbf{c}}$ 에 대해 $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}$ 위에서의 특성군은 $\bigoplus_{\omega} \mathbb{Z}_{m_n}^\wedge$ 와 동형이며, 이는 일부 특성들이 이중군에 속하지 않음을 보여 비매크리 상태임을 증명하는 데 사용된다.
• 특성 $\chi$ 를 구성하여 $\chi(x) \notin \mathbb{T}_+$ 임을 보여, $x$ 가 0의 이웃에서 있음을 가정할 경우 모순을 이끌어내어 $\chi \notin (G, \tau_{\mathbf{c}})^\wedge$ 임을 보이는 것에 기반한다.
• 감소형 순환군이 유한 개의 비자명한 주요 성분을 가질 경우, 기본 부분군이 비유계이면 비매크리 메트라이잭블 위상이 존재함을 보여준다.
• 모든 메트라이잭블로컬리 쿼지컨벡스 위상이 매크리 위상임과 유계성 사이의 동치관계는 정리 A로 확립되었으며, 정방향은 정리 C로, 역방향은 정리 B로 증명되었다.