[논문 리뷰] $(\\varphi,\\Gamma)$-modules de de Rham et fonctions $L$ $p$-adiques

Joaquín Rodrigues Jacinto|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 콜먼과 페리에-루아의 방법을 변형하여, 호환성 있는 전역 원소의 체계를 사용해 de Rham 갈루아 표현에 대한 p-진 L함수를 구성한다. 이는 p-진 무게 공간의 열린 부분집합에서, 특히 큰 도전도를 가진 국소적으로 대수적 특성들을 포함하는 영역에서 해석적 p-진 L함수를 수립하고, 차원 2에서 함수방정식을 증명하며, 추가로 악성 불안정성과 초초항 모듈라 형식에 대해 확장된 구성법을 제공한다.

ABSTRACT

Nous étudions, dans cette thèse, la construction des fonctions L p-adiques des motifs
 sur Q et, plus particulièrement, des formes modulaires.
 Dans les premiers trois chapitres on étend des constructions de Perrin-Riou pour
 construire, pour une représentation p-adique de de Rham V du groupe de Galois absolu
 GQp de Qp (ou, plus généralement, un (ϕ, Γ)-module de de Rham sur l’anneau de Robba)
 et un système compatible d’éléments globaux, une fonction L p-adique. On montre, en
 utilisant des lois de réciprocité montrées par Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez,
 Berger et Nakamura, que ces fonctions interpolent des valeurs arithmétiques intéressantes
 aux caractères localement algébriques.
 Dans les derniers trois chapitres, on se spécialise au cas de dimension 2. On démontre,
 en s’inspirant des techniques de Nakamura et des nouvelles techniques de changement
 de poids de Colmez introduites pour l’étude des vecteurs localement algébriques dans la
 correspondance de Langlands p-adique pour GL2(Qp), une équation fonctionnelle pour
 notre fonction L p-adique. Comme une application de cette équation fonctionnelle, on
 fournit les argument manquants dans les travaux de Nakamura complétant la preuve de la
 conjecture ε locale de Kato pour les représentations de dimension 2. Pour le motif associé
 à une forme modulaire, on utilise tous ces résultats pour interpréter les valeurs interpolées
 par la fonction L p-adique en termes des valeurs spéciales de la fonction L complexe de
 cette forme. // This thesis studies the construction of p-adic L-functions associated to motives over Q
 and, in particular, to modular forms.
 In the first three chapters we generalize some constructions of Perrin-Riou in order to
 construct, for any p-adic de Rham representation V of the absolute Galois group GQp of Qp
 (or, more generally, any de Rham (ϕ, Γ)-module over the Robba ring) and any compatible
 system of global elements, a p-adic L-function. We show, by the use of some reciprocity
 laws proved by Perrin-Riou, Colmez, Cherbonnier-Colmez, Berger and Nakamura, that
 these functions interpolate interesting arithmetic values at locally algebraic characters.
 The last three chapters deal with the particular case of dimension 2. We show, inspired
 by some techniques of Nakamura and certain weight change techniques introduced by
 Colmez for the study of locally algebraic vectors in the p-adic Langlads correspondence for
 GL2(Qp), that our p-adic L-function satisfies a functional equation. As an application of our
 functional equation, we fulfil the missing arguments in the work of Nakamura, providing
 a complete proof of Kato’s local ε-conjecture for 2-dimensional representations. For the
 motive associated to a modular form, we use these results to interpret the interpolated
 values of the p-adic L-function in terms of special values of the complex L-function of the
 form.

연구 동기 및 목표

• 비정상적 또는 결정성 케이스를 넘어서, 추가로 악성 불안정성을 가진 de Rham 표현에 대한 p-진 L함수의 구성 확장.
• 비정상적 표현에 대해 콜먼과 페리에-루아의 방법을 호환성 있는 전역 원소 체계와 함께 작동하도록 일반화.
• 큰 도전도를 가진 특성들을 포함하는 p-진 무게 공간의 열린 집합에서 p-진 L함수의 해석적 정의.
• 두 차원 표현의 경우 p-진 L함수에 대한 함수방정식 수립.
• 카토의 오일러 시스템을 적용하여, 추가로 불안정한 악성 환원을 가진 타원곡선과 p에서 초초항 모듈라 형식에 대한 p-진 L함수를 도출.

제안 방법

• de Rham 갈루아 표현과 관련된 (ϕ, Γ)-모듈을 사용하여 Hodge-Tate 및 de Rham 구조 분석.
• 초수렴성 (ϕ, Γ)-모듈 이론과 단조성 정리 적용을 통해 수렴성 및 코homological 성질 제어.
• 폰타인의 링의 프레임워크 내에서 p-진 주기와 지수 함수의 보간을 통한 국소 p-진 L함수 구성.
• 페리에-루아의 지수 함수와 그 쌍대를 사용하여 다양한 무게에서 L함수의 특수값 보간.
• 로바 바 링과 아이와사와 코homology를 활용하여 전역 오일러 시스템 원소와 p-진 L함수 연결.
• 심토픽 및 de Rham 코homology 이론을 적용하여 p-진 L값과 심토픽 조건자, 특수값 간의 관계 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적, 특히 추가로 악성 불안정성을 가진 de Rham 표현에 대해 p-진 L함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 콜먼과 페리에-루아의 방법을 비정상적 케이스에서 호환성 있는 전역 원소 체계와 함께 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ3 구성된 p-진 L함수의 해석적 정의 영역은 p-진 무게 공간에서 어떻게 되는가?
• RQ4 두 차원 케이스에서 p-진 L함수에 대한 함수방정식이 성립하는가?
• RQ5 카토의 오일러 시스템을 사용하여 p에서 초초항 모듈라 형식에 대한 p-진 L함수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 p-진 무게 공간의 열린 부분집합에서 해석적 함수로 p-진 L함수를 구성하며, 이는 충분히 큰 도전도를 가진 모든 국소적으로 대수적 특성들을 포함한다.
• 이 구성법은 추가로 악성 불안정성을 가진 타원곡선에 적용되어, 비정상적 케이스를 넘어서 p-진 L함수 이론을 확장한다.
• p에서 초초항인 모듈라 형식에 대해, 이 방법은 카토의 오일러 시스템을 통해 p-진 L함수를 도출한다.
• 두 차원 케이스에서 구성된 p-진 L함수는 함수방정식을 만족하며, 고전적 L함수의 함수방정식을 일반화한다.
• 이 방법은 (ϕ, Γ)-모듈과 폰타인의 링의 맥락에서 p-진 주기와 지수 함수의 정교한 보간에 기반한다.
• 초기론적 수렴성 (ϕ, Γ)-모듈 이론을 확장하고 아이와사와 코homology를 사용하여 전역 오일러 시스템 원소와 p-진 L값을 연결함으로써 결과를 달성한다.