[논문 리뷰] Vector bundles and p-adic representations I

Christopher Deninger, Annette Werner|ArXiv.org|2003. 09. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 p진 곡선 $X_{\mathbb{C}_p}$ 위의 특수한 범주에 속하는 벡터(bundle)와 그 대수적 기본군 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 의 연속적인 p진 표현 사이에 함자적 대응을 수립한다. 핵심 결과는 이 함자 $\rho$ 가 정확하고, 텐서 구조와 호환되며, Hodge–Tate 분해를 통해 관련 Hodge–Tate 사상이 식별된다는 것이다. 이는 p진 Hodge 이론을 활용하여 고계수의 벡터(bundle)로 고전 결과를 일반화한 것이다.

ABSTRACT

We define and study a certain category of vector bundles on a p-adic curve to which we can associate in a functorial way finite dimensional p-adic representations of the geometric fundamental group. Among other things we investigate two different relations of these constructions with the Hodge-Tate decomposition.

연구 동기 및 목표

• p진 곡선의 벡터(bundle) 범주에서 그 대수적 기본군의 연속적인 p진 표현으로 가는 함자를 구성하는 것.
• 영도수를 가진 선형 벡터(bundle)에 대한 타이트의 구성 방식을 고계수의 벡터(bundle)로 일반화하는 것.
• 함자적 표현을 Hodge–Tate 분해를 통해 Hodge–Tate 사상과 식별하는 것.
• 벡터(bundle)가 그 범주에 속해 있는지 여부는 그 분해 불가능 성분들의 도수가 모두 영임과 동치인지를 탐색하는 것.

제안 방법

• 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $p^n$ 에 대한 줄임을 조건으로 하여 $X_{\mathbb{C}_p}$ 위의 벡터(bundle)의 전체 부분범주 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 를 정의한다.
• 각 벡터(bundle) $E$ 에 대해 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 에서 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 의 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$--equivariant 표현을 $E_{\overline{x}}$ 에 값으로 할당하는 함자 $\rho$ 를 구성한다.
• p진 Hodge 이론과 보편 벡터성 확장을 사용하여 표현 함자의 리 대칭과 Hodge–Tate 사상을 식별한다.
• 함자 $\rho$ 가 텐서 곱, 딜레이션, 내부 함자, 외적 힘과 호환됨을 증명하여 텐서 구조와의 호환성을 확보한다.
• 영도수를 가진 선형 벡터(bundle)에 대해 표현 $\rho_L$ 이 피카르 다양체의 $p$-나누어지는 군을 통해 타이트의 구성과 일치함을 보인다.
• 확장 군 위에 유도된 사상이 Hodge–Tate 포함사상 $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ 와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함자 $\rho: \mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}} \to \mathbf{Rep}_{\pi_1(\overline{X}, \overline{x})}(\mathbb{C}_p)$ 는 완전한 유비쿼터스인가?
• RQ2 함자 $\rho$ 의 본질적 상은 무엇이며, 기하학적 또는 코homological하게 기술할 수 있는가?
• RQ3 이론을 $p$-진 히그 장 $\phi$ 를 포함하도록 확장할 수 있는가? 이 경우 쌍 $(E, \phi)$ 가 $p$-진 표현을 분류하는가?
• RQ4 벡터(bundle)가 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 에 속해 있는지 여부는 그 모든 분해 불가능 성분의 도수가 영임과 동치인가?
• RQ5 표현 $\rho_E$ 의 에탈 코hom로에 대해 $G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$-작용과 호환되는 갈루아 불변 Hodge–Tate 분해가 성립하는가?

주요 결과

• 함자 $\rho$ 는 정확하고, 텐서 연산과 호환되어, $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 에서 $\pi_1(\overline{X}, \overline{x})$ 의 연속적인 $\mathbb{C}_p$-표현으로 가는 잘 정의된 텐서 함자이다.
• 영도수를 가진 선형 벡터(bundle) $L$ 에 대해 표현 $\rho_L$ 는 피카르 다양체의 $p$-나누어지는 군을 통해 타이트의 구성과 일치한다.
• 확장 군 위에 유도된 사상 $\rho_*$ 는 Hodge–Tate 포함사상 $i_{HT}: H^1(X, \mathcal{O}) \otimes_K \mathbb{C}_p \hookrightarrow H^1_{\text{ét}}(\overline{X}, \mathbb{Q}_p) \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C}_p$ 와 일치한다.
• 범주 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 에 속한 벡터(bundle) $E$ 에 대해 표현 $\rho_E$ 는 $G_K = \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 의 갈루아 작용과 호환된다.
• 양호한 감소를 가진 타원곡선에서, 벡터(bundle)는 그 분해 불가능 성분들의 도수가 모두 영일 때에만 $\mathfrak{B}_{X_{\mathbb{C}_p}}$ 에 속한다. 이는 아티야의 분류에 따른 것이다.
• 이 구성은 랭크 2의 유니포텐트 벡터(bundle)를 사용하여 Hodge–Tate 사상 $i_{HT}$ 의 새로운 명시적 기술을 제공한다. 이는 정리 26 이후의 비고 1에 기록되어 있다.