[논문 리뷰] Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems

Arnaud Beauville|ArXiv.org|1994. 04. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 75

한 줄 요약

이 논문은 대수적 곡선 위의 안정 벡터(bundle)의 모듈리 공간 위의 행렬식 선다발의 전역 단면으로서 일반화된 썰티 함수를 탐구하며, 아벨이 아닌 버전의 잭비안 위의 고전적 썰티 함수를 수립한다. 이는 모듈리 공간 $\mathcal{SU}_X(r)$의 피카르 군이 자연스러운 행렬식 선다발 $\mathcal{L}$에 의해 생성됨을 증명하고, $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$와 $H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))$의 쌍대공간 사이의 동형사상 수립함으로써 벡터 다발의 기하학과 양자장 이론 및 모듈러 표현 간의 연결 고리를 마련한다.

ABSTRACT

Riemann surface carries a natural line bundle, the determinant bundle. The space of sections of this line bundle (or its multiples) constitutes a natural non-abelian generalization of the spaces of theta functions on the Jacobian. There has been much progress in the last few years towards a better understanding of these spaces, including a rigorous proof of the celebrated Verlinde formula which gives their dimension. This survey paper tries to explain what is now known and what remains open.

연구 동기 및 목표

• 벡터 다발의 모듈리 공간 위의 행렬식 선다발을 이용하여 잭비안 위의 고전적 썰티 함수의 아벨이 아닌 해석을 수립하기.
• 성질이 2 이상인 곡선 $X$ 위의 계수 $r$이고 결정식이 자명한 안정 벡터 다발의 모듈리 공간 $\mathcal{SU}_X(r)$의 기하학을 조사하기.
• 행렬식 선다발 $\mathcal{L}$의 전역 단면 공간의 구조를 이해하기, 이는 일반화된 썰티 함수로 해석된다.
• 이러한 단면과 양자장 이론 간의 연결 고리를 탐색하기, 특히 매핑 클래스 군 $\Gamma_g$의 사영 표현을 통해.

제안 방법

• 모듈리 공간 $\mathcal{SU}_X(r)$ 위의 행렬식 선다발 $\mathcal{L} = \mathcal{O}(\Theta_L)$를 사용하며, 여기서 $\Theta_L$는 $L \in J^{g-1}(X)$에 대해 $h^0(E \otimes L) \geq 1$을 만족하는 일반화된 썰티 교차자이다.
• 행렬식 선다발의 피카르 군이 $\mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$임을 증명함으로써 $\mathcal{L}$이 피카르 군의 생성자를 이룸을 보임.
• 전역 단면 간의 자연스러운 동형사상 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$를 수립함으로써, 고전적 썰티 함수와의 연결 고리를 확립함.
• 다음과 같은 유리 함수 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$를 구성함: $\theta(E) = \{ L \in J^{g-1}(X) \mid h^0(E \otimes L) \geq 1 \}$, 이는 모듈리 공간과 잭비안 간의 관계를 설명함.
• 루프 군 위의 함수로서 $\mathcal{L}^k$의 단면을 연구하기 위해 모듈리 스택을 이중 몫 $SL_r(A_X) \backslash SL_r(\mathbb{C}((z))) / SL_r(\mathbb{C}[[z]])$로 기술함.
• 표현을 통해 $\pi_1(X)$의 표현을 이용한 $SL_r(\mathbb{C})^g$로의 풀백을 통한 대안적 구성 방법을 탐색하고, 이와 $\tau$-함수와의 연결 고리를 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$의 구조는 무엇이며, 잭비안 위의 고전적 썰티 함수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 매핑 클래스 군 $\Gamma_g$에 대한 표현 $\rho_{r,k}: \Gamma_g \to PGL(H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}^k))$는 명시적으로 기술할 수 있는가? 그리고 $\mathrm{Sp}(2g, \mathbb{Z})$로 인해 분해되는가?
• RQ3 고전적 썰티 함수가 반주기 함수로서의 성질을 갖는 것과 유사하게, 일반화된 썰티 함수에 대한 해석적 또는 함수론적 기술은 가능한가?
• RQ4 양자장 이론에서 예측한 바와 같이, 사영 표현 $\rho_{r,k}$는 평탄한 헤르미트 메트릭을 갖는다 해서 유니터리가 되는가?
• RQ5 다른 $k$에 대해 $\mathcal{L}^k$의 단면은 $\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$와 같은 자연스러운 군론적 공간 위의 해석적 함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathcal{SU}_X(r)$의 피카르 군은 $\mathbb{Z}$와 동형이며, 자연스러운 행렬식 선다발 $\mathcal{L}$에 의해 생성되므로 $\operatorname{Pic}(\mathcal{SU}_X(r)) = \mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$이다.
• 자연스러운 동형사상 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$가 존재하며, 이는 수준 1의 일반화된 썰티 함수 공간이 순서 $r$의 고전적 썰티 함수 공간의 쌍대공간과 동형임을 보여준다.
• 유리 함수 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$는 다발 $E$를 $h^0(E \otimes L) \geq 1$을 만족하는 선다발 $L$들의 교차자로 보내며, 이 함수는 일반적으로 정의되어 있고 유한하다.
• 모든 $k=1$에 대해 매핑 클래스 군 $\Gamma_g$의 표현 $\rho_{r,1}$은 고전적 썰티 함수의 쌍대공간과의 동형사상을 통해 기술되며, 고전적 변환 공식을 일반화한다.
• $\mathcal{L}$의 루프 군 $\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$로의 풀백은 자명하다. 이는 일반화된 썰티 함수가 이 군 위의 함수로 표현될 수 있음을 시사하지만, 높은 $k$에 대한 명시적 표현은 아직 밝혀지지 않았다.
• 진전이 있었음에도 불구하고, 일반화된 썰티 함수를 자연스러운 정의역 위의 해석적 함수로 완전히 만족스럽게 기술하는 것은 여전히 열려 있는 문제이다.