[논문 리뷰] Vector bundles on elliptic curve and Sklyanin algebras

Boris Feigin, A. V. Odesskiĭ|ArXiv.org|1995. 09. 20.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 1인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 스카얀인 대수 $Q_{n,k}({\rm E},\tau)$와 타원곡선 위의 벡터(bundle)의 깊은 연결 고리를 확립하며, 이러한 대수의 고전적 극한의 심플렉틱 잎새가 선다발의 확장 모듈리공간에 의해 매개변수화됨을 보여준다. 특히 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \cong {\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$이다. 핵심 결과는 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 위의 해밀토니안 구조의 심플렉틱 분할이 고정된 결정행렬을 가진 안정적 $k+1$차원 벡터(bundle)에 의해 인덱싱된 스트라타로 분해되며, 이는 확장의 모듈리공간을 통해 실현된다.

ABSTRACT

In [4] we introduce the associative algebras $Q_{n,k}(\CE,τ)$. Recall the definition. These algebras are labeled by discrete parameters $n,k$; $n,k$ are integers $n>k>0$ and $n$ and $k$ have not common divisors. Then, $\CE$ is an elliptic curve and $τ$ is a point in $\CE$. We identify $\CE$ with $\BC/Γ$, where $Γ$ is a lattice.

연구 동기 및 목표

• 스카얀인 대수 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 고전적 극한의 심플렉틱 분할을 이해하는 것.
• 벡터(bundle)를 이용하여 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 특성다양체 ${\rm Ch}_{n,k}$를 기술하는 것.
• 해밀토니안 구조가 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 위에 존재할 때, 그 심플렉틱 잎새와 선다발의 확장 모듈리공간 사이의 기하학적 대응을 확립하는 것.
• 이 대응을 $sl_r$-형 대수의 보렐 및 파라보릭 다발의 구조로 일반화하는 것.

제안 방법

• $n/k$의 연분수 분해를 통해 타원곡선 위의 벡터(bundle) 언어를 사용하여 특성다양체 ${\rm Ch}_{n,k}$를 기술하는 것.
• $\Delta_{i,i+1}$와 같은 딜로르와 타타 함수를 사용하여 ${{\cal E}}^{(p)}$ 위에 선다발 $\bar{\xi}$를 구성하고, 이에 의해 ${{\cal E}}^{(p)}$를 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$로 매핑하는 것.
• ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$를 ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$의 사영화로 식별하여, $\xi_{n,k}$에 의해 $\xi_{0,1}$를 확장하는 것을 매개변수화하는 것.
• $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 고전적 극한 $\tau \to 0$을 통해 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 위에 해밀토니안 구조를 정의하며, 이 구조가 동차적이며 사영공간 위에 구조를 유도함을 보이는 것.
• $N_{n,k}$를 고정된 결정행렬을 가진 안정적 다발의 공간으로 정의하고, $\theta: N_{n,k} \to {\rm Mod}/{\cal E}$를 도입하며, 심플렉틱 잎새가 이 사상의 섬유임을 보이는 것.
• $k+1$차원 다발의 순차적 몫이 $\xi_{n_i,1}(z_i)$와 동형인 경우, $sl_r$-형 대수로 이 틀을 일반화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 극한의 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 심플렉틱 잎새는 기하학적으로 어떻게 매개변수화되는가?
• RQ2 타원곡선 위의 벡터(bundle)는 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 특성다양체 ${\rm Ch}_{n,k}$를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$ 모듈리공간은 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 위의 해밀토니안 구조의 심플렉틱 분할과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$로부터 유도된 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$ 위의 심플렉틱 구조는 결정행렬 선다발의 번들의 위로 올라갈 수 있는가?
• RQ5 $sl_r$-형의 경우에 이 구성은 파라보릭 및 보렐 유형 다발로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• $\mathbb{C}P^{n-1}$ 위의 해밀토니안 구조의 심플렉틱 잎새는 ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$의 스트라타와 일대일 대응되며, 이는 ${{\mathbb{C}}P}^{n-1}$과 동형이다.
• ${\rm Ch}_{n,k}$는 타타 함수와 $\Delta_{i,i+1}$와 같은 딜로르를 사용해 구성된 선다발 $\bar{\xi}$에 의해 유도된 사상 ${{\cal E}}^{(p)} \to {{\mathbb{C}}P}^{n-1}$의 상으로 실현된다.
• ${\rm Mod}(\xi_{0,1};\xi_{n,k})$는 ${{\rm Ext}}^1(\xi_{n,k};\xi_{0,1})$의 사영화와 동형이며, 그 차원은 $n-1$이다.
• 고전적 극한의 $Q_{n,k}({\cal E},\tau)$의 심플렉틱 잎새는 고정된 결정행렬을 가진 안정적 $k+1$차원 다발의 공간 $N_{n,k}$에서 정의된 사상 $\theta: N_{n,k} \to {\rm Mod}/{\cal E}$의 섬유이다.
• ${{\mathbb{C}}P}^{n-1} \to {\rm Mod}^{s}_{n,k}(z) \cong {{\mathbb{C}}P}^{c-1}$ (여기서 $c = \gcd(n, k+1)$)인 유리 함수는 ${{\mathbb{C}}^n} \to {{\mathbb{C}}^c}$의 차수 $n/c$를 가지며, 이 사상은 타겟이 자명한 구조를 가질 경우 해밀토니안이다.
• $sl_r$-형의 경우, $Q_{n,\Gamma}({\cal E},\tau)$의 고전적 극한은 모듈리공간 $M_{n_1,\ldots,n_{r-1}}$ 위에 해밀토니안 구조를 유도하며, 심플렉틱 잎새는 ${{\mathbb{C}}^h}$로 가는 사상의 섬유로 주어진다. 여기서 $h = \gcd(r, \sum i n_i)$이다.