[논문 리뷰] Vector partition function and generalized Dahmen-Micchelli spaces

Corrado De Concini, Claudio Procesi외 1명|ArXiv.org|2008. 05. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 차등 방정식의 해가 되는 고전적 $DM(X)$ 공간을 일반화한 격자 위의 함수 공간인 일반화된 Dahmen-Micchelli 공간 $\mathcal{F}(X)$를 도입한다. 이 공간에 대해 함수의 국소화 공식을 수립하여, $\mathfrak{c} - B(X)$ 영역에서의 벡터 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 가 준다항식임을 증명하고, 그 결과로 Paradan의 벽을 횡단하는 공식을 유도한다.

ABSTRACT

This is the first of two papers on partition functions and the index theory of transversally elliptic operators. In this paper we only discuss algebraic and combinatorial issues related to partition functions. The applications to index theory will appear in a subsequent paper.

연구 동기 및 목표

• 차등 방정식의 해가 되는 고전적 $DM(X)$ 공간을 일반화한 격자 위의 함수 공간인 $\mathcal{F}(X)$ 를 정의하고 연구하는 것.
• $\mathcal{F}(X)$ 에 속하는 함수에 대한 국소화 공식을 수립하여, 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 의 명시적 분해를 가능하게 하는 것.
• 벡터 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 가 $\mathfrak{c}$ 가 큰 세포이고 $B(X)$ 가 $X$ 에 의해 생성된 조노이드일 때 영역 $\mathfrak{c} - B(X)$ 에서 준다항식임을 증명하는 것.
• 분할 함수의 준다항식 성분 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 에 대해 Paradan의 벽을 횡단하는 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• $\nabla_{X\setminus\underline{r}}f$ 가 각 유리 부분공간 $\underline{r}$ 에서 지지되는 함수 $f$ 의 집합으로서 $\mathcal{F}(X)$ 를 정의한다.
• 격자 $\Gamma$ 위의 함수를 토러스 $G$ 위의 푸리에 급수로 표현하기 위해 형식적 급수 $\Theta(f) = \sum_{\gamma \in \Gamma} f(\gamma) e^{\gamma}$ 를 도입한다.
• 복합과 이동 연산자 $T_{X\setminus\underline{r}}^{F_{\underline{r}}}$ 를 사용하여, $X$-정규 집합 $\mathbf{F}$ 를 통해 $G(X)$ 에 속한 함수를 분해한다.
• $f \in G(X)$ 를 $\underline{r} + C(F_{\underline{r}}, X\setminus\underline{r})$ 에 지지되는 성분으로 사영하는 사영자 $\pi_X^{\underline{r},F_{\underline{r}}}$ 를 정의한다.
• 국소화 정리를 적용하여, 어떤 토파 $\tau$ 에서 함수 $f \in G(X)$ 가 다항식 밀도 $f^\tau \in D(X)$ 와 일치함을 보인다.
• 유리 초평면 $H$ 를 가로질러 다항식 밀도 $f^{\tau_1} - f^{\tau_2}$ 를 비교함으로써 벽을 횡단하는 공식을 도출하며, 이는 이동 연산자 차이 $T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차등 방정식의 해가 되는 함수 공간은 비점이 있는 콩과 비정규 구성에 대해서도 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 벡터 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 는 영역 $\mathfrak{c} - B(X)$ 에서 어떤 구조를 가지며, 왜 이곳에서 준다항식인가?
• RQ3 유리 부분공간에 지지되는 성분으로 분해할 수 있는 $\mathcal{F}(X)$ 에 속한 함수에 대해 국소화 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 인접한 큰 세포들 사이에서 준다항식 성분 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 는 어떻게 행동하며, 벽을 횡단하는 공식은 무엇인가?
• RQ5 일반화된 Dahmen-Micchelli 공간 $\mathcal{F}(X)$ 와 횡단적 에르미트 연산자의 지수 이론 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\mathcal{F}(X)$ 는 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 와 고전적 $DM(X)$ 공간을 모두 포함하며, 차등 연산자 $\nabla_{X\setminus\underline{r}}$ 에 대한 지지 조건으로 정의된다.
• 모든 $f \in \mathcal{F}(X)$ 에 대해 국소화 공식이 수립되어, 유리 부분공간 $\underline{r}$ 에 지지되는 성분으로 분해할 수 있다.
• 분할 함수 $\mathcal{P}_X$ 는 각 영역 $\mathfrak{c} - B(X)$ 에서 준다항식이며, $\mathfrak{c}$ 는 큰 세포이고 $B(X)$ 는 $X$ 의 조노이드이다.
• 이 분해는 준다항식 성분 $\mathcal{P}_X^\mathfrak{c}$ 에 대해 Paradan의 벽을 횡단하는 공식을 유도하며, 초평면을 가로질러 차등 연산자를 통해 도출된다.
• 톱 $\tau$ 에서의 다항식 밀도 $f^\tau$ 는 $f \in G(X)$ 에서 $\tau$ 에서 $f$ 와 일치하는 유일한 성분이며, 복합과 이동 연산자를 통해 구성된다.
• 일반적인 $f \in G(X)$ 에 대해 벽을 횡단하는 공식 $f^{\tau_1} - f^{\tau_2} = (T_{X\setminus H}^{F_H} - T_{X\setminus H}^{-F_H}) * (\partial_{X\setminus H}f)^{\tau_{12}}$ 이 증명되었으며, 이는 점이 있는 콩의 경우 Khovanskii-Pukhlikov 공식으로 특수화된다.