[논문 리뷰] Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve

Lee-Peng Teo|ArXiv.org|2002. 06. 19.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 변형된 도메인의 구면 면적의 두 번째 변화를 통해 정의된 유니버설 테이히뮐러 곡선 위의 허미션 켈러 메트릭인 벨링-키릴로프 메트릭을 소개한다. 이 메트릭의 심플렉틱 형식의 제곱에 대한 수직 적분이 유니버설 및 유한차원 테이히뮐러 공간 위에서 윌-피터슨 심플렉틱 형식을 유도함을 증명한다.

ABSTRACT

We extend Velling's approach and prove that the second variation of the spherical areas of a family of domains defines a Hermitian metric on the universal Teichmuller curve, whose pull back to Diff+(S^1)/S^1 coincides with the Kirillov metric. We show that the vertical integration of the square of the symplectic form of Velling-Kirillov metric on the universal Teichmuller curve is the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space. Restricted to a finite dimensional Teichmuller space, the vertical integration of the corresponding form on the Teichmuller curve is also the symplectic form that defines the Weil-Petersson metric on the Teichmuller space.

연구 동기 및 목표

• 구면 면적의 두 번째 변화를 이용하여 유니버설 테이히뮐러 곡선 위에 자연스러운 허미션 켈러 메트릭을 정의하기.
• 벨링의 면적 기반 메트릭과 Diff+(S¹)/S¹ 위의 키릴로프의 동형 궤도 메트릭 사이의 연결을 설정하기.
• 벨링-키릴로프 메트릭의 심플렉틱 형식의 제곱에 대한 수직 적분이 테이히뮐러 공간 위에서 윌-피터슨 메트릭을 복원함을 보여주기.
• 유니버설 테이히뮐러 곡선의 섬유 위에서의 적분을 통해 윌-피터슨 메트릭의 새로운 기하학적 실현을 제공하기.

제안 방법

• 스카워츠 흐름에 따른 도메인 f^{tQ}(Δ)의 구면 면적의 두 번째 도함수를 통해 벨링-키릴로프 메트릭을 정의하기.
• 유니버설 테이히뮐러 공간을 A∞(Δ)에 삽입하는 베르스 임bedding을 사용하여 접선 벡터를 해석적 2차형식과 연결하기.
• D̃ 내의 단일성 함수를 사용하여 원점에서의 오른쪽 이동 불변성으로 유니버설 테이히뮐러 곡선 위의 메트릭을 구성하기.
• 벡터장 전개 ∑n|cn|²를 통해 메트릭이 켈러임을 증명하고, 키릴로프의 메트릭과 일치함을 보여주기.
• 벨링-키릴로프 메트릭의 심플렉틱 형식 κ를 정의하고, p: T(1) → T(1)의 섬유 위에서 수직 적분 수행하기.
• 수직 적분 결과로 얻어진 (1,1)-형식 ω가 H^{3/2} 접선 벡터장에 제한된 윌-피터슨 심플렉틱 형식임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벨링의 면적 기반 메트릭이 유니버설 테이히뮐러 공간으로부터 유니버설 테이히뮐러 곡선 위의 자연스러운 메트릭으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 벨링-키릴로프 메트릭의 Pullback이 Diff+(S¹)/S¹ 위에서 키릴로프의 동형 궤도 메트릭과 일치하는가?
• RQ3 벨링-키릴로프 메트릭의 심플렉틱 형식의 제곱에 대한 수직 적분이 T(1) 위에서 윌-피터슨 메트릭과 동치인가?
• RQ4 이 구성이 코패킷한 푸크시안 군에 대응하는 유한차원 테이히뮐러 공간으로 정확히 제한되는가?

주요 결과

• 벨링-키릴로프 메트릭은 유니버설 테이히뮐러 곡선 위의 오른쪽 불변 허미션 켈러 메트릭으로 유일하다.
• 메트릭의 명시적 공식은 Q(z) = ∑_{n=2}^∞ (n³−n)a_n z^{n−2} ∈ A∞(Δ)일 때 ‖Q‖_S² = ∑_{n=2}^∞ n|a_n|² 이다.
• 벨링-키릴로프 메트릭의 Pullback이 Diff+(S¹)/S¹ 위에서 키릴로프의 메트릭 ∑_{n=1}^∞ n|c_n|² 와 일치한다. 여기서 벡터장은 ∑c_n e^{inθ} ∂_θ 로 주어진다.
• p: T(1) → T(1)의 섬유 위에서 κ∧κ에 대한 수직 적분은 H^{3/2} 접선 벡터장에 제한된 윌-피터슨 심플렉틱 형식을 유도한다.
• 모든 코패킷한 푸크시안 군 Γ에 대해, 테이히뮐러 곡선 F(Γ) 위에서 동일한 수직 적분이 T(Γ) 위에서 윌-피터슨 심플렉틱 형식을 복원한다.
• 유니버설 테이히뮐러 곡선은 베르스 유형의 임베딩을 통해 A∞(Δ)에 삽입되며, 그 이미지는 원점 주위의 열린 볼을 포함한다.