[논문 리뷰] Vertex operators and 2-representations of quantum affine algebras

Sabin Cautis, Anthony Licata|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현 내에서 특정 복합체인 카테고리적 버텍스 연산자들을 통해 버텍스 연산자를 코어티피케이션함으로써 양자 아핀 대수의 2표현을 구성한다. 이는 그로텐디에크 군에서 표준 버텍스 연산자를 복원한다. 주요 기여는 단순결합된 양자 아핀 대수의 기본 표현에 대한 프렌켈-카크-세갈의 동차 실현을 카테고리화하는 것으로, 이는 ALE 공간의 힐버트 스킴 위의 코herent sheaf의 도파일 케이테고리 위에 카테고리적 작용을 제공하며, 양자 토로이드 대수로까지 확장된다.

ABSTRACT

We construct 2-representations of quantum affine algebras from 2-representations of quantum Heisenberg algebras. The main tool in this construction are categorical vertex operators, which are certain complexes in a Heisenberg 2-representation that recover vertex operators after passing to the Grothendieck group. As an application we categorify the Frenkel-Kac-Segal homogeneous realization of the basic representation of (simply laced) quantum affine algebras. This gives rise to categorical actions of quantum affine (and toroidal) algebras on derived categories of coherent sheaves on Hilbert schemes of points of ALE spaces.

연구 동기 및 목표

• 단순결합된 양자 아핀 대수의 기본 표현에 대한 프렌켈-카크-세갈의 동차 실현을 카테고리화하는 것.
• 그로텐디에크 군에서 표준 버텍스 연산자를 유도하는 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현 내의 복합체로서 카테고리적 버텍스 연산자를 구성하는 것.
• 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현을 양자 아핀 및 토로이드 대수의 2표현으로 확장하여 코herent sheaf의 도파일 케이테고리 위에 작용시키는 것.
• 도파일 동치를 통한 양자군 카테고리화와 나카지마-그로지노프스키 퀼리 다양체 간의 기하적 연결 고리를 설정하는 것.
• 보편 버텍스 연산자 대수, 특히 바이라소로 생성자들을 포함한 향후 카테고리화의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 카테고리적 버텍스 연산자는 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현 내에서 헤이젠베르크 생성자들과 관련된 함자들로부터 구성된 특정 복합체로 정의된다.
• 이 복합체들이 그로텐디에크 군에서 양자 아핀 대수 생성자들의 교환관계를 끌어올리는 관계를 만족함을 보였다.
• 구성은 양자 아핀 대수의 루프(드린펠드) 표현과 일치하며, conformal field theory와 저차원 위상수학과도 호환된다.
• 카테고리화된 작용은 $A, D, E$ 유형의 ALE 공간 위의 점들의 힐버트 스킴 위의 $\mathbb{C}^\times$--equivariant 코herent sheaf의 도파일 케이테고리 위에 실현된다.
• 이 방법은 나카지마-그로지노프스키 헤이젠베르크 작용을 도파일 케이테고리 위로 올리는 데 기반하며, 이는 2표현으로의 전환을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 양자 토로이드 대수로의 확장을 허용하며, $\mathbb{C}^\times$-equivariant K-이론 위의 모듈리 공간 위의 랭크 1 sheaf에 대한 추측된 작용을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프렌켈-카크-세갈 구성의 버텍스 연산자는 어떻게 카테고리화되어야 하며, 이는 양자 아핀 대수의 2표현을 유도하는가?
• RQ2 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현 내에서 카테고리적 버텍스 연산자는 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현은 전체 양자 아핀 대수의 2표현으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 힐버트 스킴의 ALE 공간에 대한 카테고리화된 카크-무디 생성자 $\mathsf{E}_i$와 $\mathsf{F}_i$는 기하학적으로 어떻게 해석될 수 있는가?
• RQ5 $(\mathbb{C}^2)^{[n]}$의 $\Gamma$-불변 부분공간과 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$ 사이에 도파일 동치가 존재하는가? 이는 2표현의 동치를 암시하는가?

주요 결과

• 논문은 양자 헤이젠베르크 대수의 2표현 내에서 복합체로서 정의된 카테고리적 버텍스 연산자를 구성하였으며, 이는 그로텐디에크 군에서 표준 버텍스 연산자를 유도한다.
• 이 구성은 $A, D, E$ 유형의 ALE 공간 위의 점들의 힐버트 스킴 위의 $\mathbb{C}^\times$-equivariant 코herent sheaf의 도파일 케이테고리 위에 양자 아핀 대수의 2표현을 제공한다.
• 카테고리화된 작용은 양자 토로이드 대수로까지 확장되며, 랭크 1 sheaf의 모듈리 공간 위의 $\mathbb{C}^\times$-equivariant K-이론에 대한 추측된 작용을 복원한다.
• 카크-무디 생성자 $\mathsf{E}_i$와 $\mathsf{F}_i$는 $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$ 카테고리화에서 명시적으로 기술되었으며, 반면 헤이젠베르크 생성자 $\mathsf{P}_i, \mathsf{Q}_i$는 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$ 모델에서 더 기하학적으로 명확하다.
• $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$와 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$에 의한 두 카테고리화는 도파일 동치이며, 이는 2표현 간의 깊은 동치를 암시한다.
• 추측 11.9는 순환 KLR 대수 $R^\Lambda_{Q,\lambda}$와 대수 $B'_\Gamma(n)$ 사이의 모리타 동치를 제안하며, 대수적 카테고리화와 기하적 카테고리화를 연결한다.