[논문 리뷰] Vertex Operators and Moduli Spaces of Sheaves

Erik Carlsson|ArXiv.org|2009. 06. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 코herent sheaf의 모듈리 공간 위의 벡터(bundle)의 체른 클래스로부터 기하학적 K-이론적 구조를 이용해 새로운 정점 연산자를 구성하며, 이는 네크라소프 분할 함수와 직접 연결된다. 이 연산자의 교환관계를 활용하여 분할 함수와 상관 함수의 모듈라리티 성질을 도출함으로써, 모듈라리티와 초기 조건을 통해 적분을 완전히 결정할 수 있게 되었으며, 특히 캐논리컬 클래스가 0이 아닌 경우인 하이르베르트 스킴의 경우에 특히 효과적이다.

ABSTRACT

The Nekrasov partition function in supersymmetric quantum gauge theory is mathematically formulated as an equivariant integral over certain moduli spaces of sheaves on a complex surface. In ``Seiberg-Witten Theory and Random Partitions'', Nekrasov and Okounkov studied these integrals using the representation theory of ``vertex operators'' and the infinite wedge representation. Many of these operators arise naturally from correspondences on the moduli spaces, such as Nakajima's Heisenberg operators, and Grojnowski's vertex operators. In this paper, we build a new vertex operator out of the Chern class of a vector bundle on a pair of moduli spaces. This operator has the advantage that it connects to the partition function by definition. It also incorporates the canonical class of the surface, whereas many other studies assume that the class vanishes. When the moduli space is the Hilbert scheme, we present an explicit expression in the Nakajima operators, and the resulting combinatorial identities. We then apply the vertex operator to the above integrals. In agreeable cases, the commutation properties of the vertex operator result in modularity properties of the partition function and related correlation functions. We present examples in which the integrals are completely determined by their modularity, and their first few values.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 위의 벡터 번들의 체른 클래스로부터 기하학적이고 K-이론적인 기반을 제공하는 새로운 정점 연산자를 구성한다.
• 기존의 네크라소프-오쿠노프 방법을 캐논리컬 클래스가 0이 되는 가정을 초월하여 임의의 복소 표면에 적용 가능하도록 일반화한다.
• 등변 적분을 통해 정점 연산자와 네크라소프 분할 함수 사이의 직접적인 연결 고리를 수립한다.
• 새로운 정점 연산자의 교환관계를 이용하여 분할 함수와 상관 함수의 모듈라리티 성질을 도출한다.
• 합리적인 경우에 적분이 모듈라리티와 첫 번째 몇 개의 값으로 완전히 결정될 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 모듈리 공간의 한 쌍 위에서 벡터 번들의 체른 클래스를 이용해 정점 연산자를 기하학적으로 K-이론적으로 정의한다.
• 모듈리 공간이 하이르베르트 스킴일 경우, 새로운 정점 연산자를 나카지마 연산자로 명시적으로 표현한다.
• 정점 연산자의 교환 성질을 이용하여 분할 함수와 상관 함수의 모듈라리티를 도출한다.
• 등변 적분을 통해 하이르베르트 스킴 위에 있는 정점 연산자를 적용하고, 표면의 캐논리컬 클래스를 포함시킨다.
• 무한한 와이드 표현과 헤이젠베르크 대수의 구조를 활용하여 생성 함수를 분석한다.
• 벡터 값 모듈라 형식과 SL(2,Z)의 표현 이론을 이용하여 분할 함수의 변환 성질을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 K-이론적 정점 연산자를 구성할 수 있는가, 이는 네크라소프 분할 함수와 직접 연결되는가?
• RQ2 이 정점 연산자의 교환관계는 분할 함수의 모듈라리티로 이어지는가?
• RQ3 분할 함수는 모듈라리티와 첫 번째 몇 개의 값으로 완전히 결정될 수 있는가?
• RQ4 표면의 캐논리컬 클래스는 분할 함수의 구성과 모듈라리티에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 새로운 정점 연산자는 캐논리컬 클래스가 0이 되는 가정을 하는 이전 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 새로운 정점 연산자는 K-이론을 통한 기하학적 구성으로, 표현 이론적 정의보다 더 일반적이고 기초적인 출발점을 제공한다.
• 하이르베르트 스킴의 경우, 정점 연산자는 나카지마 연산자로 명시적으로 표현되며, 새로운 조합론적 항등식을 이끌어낸다.
• 정점 연산자의 교환관계는 분할 함수와 상관 함수의 모듈라리티를 유도한다.
• 합리적인 경우에 분할 함수는 그 모듈라리티와 첫 번째 몇 개의 값으로 완전히 결정되며, 이는 $ Z_2^\nu(3,q) $의 예시로 입증되었다.
• 함수 $ Z_2^\nu(3,q)/(q;q)_\nu^8 \cdot \eta(\tau)^4\eta(2\tau)^2\eta(4\tau)^4 $ 는 $ \Gamma_1(4) $ 에 대해 무게 5인 모듈라 형식임을 보였으며, 이는 에이젠스타이니 형식의 선형 조합과 정확히 일치한다.
• m 이 홀수일 경우, 벡터 값 함수 $ v_{k,m} $ 는 대각 표현으로 변환되며, 이는 모듈라리티를 단순화하고 $ \Gamma_1(4) $ 로의 확장을 가능하게 한다.