[논문 리뷰] Vertical Vafa-Witten invariants

Pieter Ties Allerd Laarakker|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ p_g(S) > 0 $인 표면에 대해 수직 Vafa-Witten 불변량의 잘 정의됨을 확립하며, 그 기여가 안정성 경우와 동일한 타우토로지적 적분으로 계산됨을 증명한다. 가상 국소화와 코세션 기법을 사용하여, 비세밀화 및 세밀화된 불변량이 모두 코herent sheaf의 모듈리 공간 위의 적분으로 유도됨을 보이며, Tanaka-Thomas와 Threfftz의 이전 추측을 확장한다.

ABSTRACT

We show that \emph{vertical} contributions to (possibly semistable) Tanaka-Thomas-Vafa-Witten invariants are well defined for surfaces with $p_g(S)>0$, partially proving conjectures of \cite{TT2} and \cite{T}. Moreover, we show that such contributions are computed by the same tautological integrals as in the stable case, which we studied in \cite{L}. Using the work of Kiem and Li, we show that stability of universal families of vertical Joyce-Song pairs is controlled by cosections of the obstruction sheaves of such families.

연구 동기 및 목표

• 표면에 대해 $ p_g(S) > 0 $인 경우 Tanaka-Thomas-Vafa-Witten 불변량의 수직 기여가 잘 정의됨을 증명하고, [TT17b]와 [Tho18a]의 추측을 확인한다.
• 수직 불변량이 안정성 경우와 동일한 타우토로지적 적분으로 계산됨을 보이며, [Laa18]의 결과를 일반화한다.
• 장애층의 코세션을 통해 수직 Joyce-Song 쌍의 보편 가닥의 안정성을 확립한다.
• 가상 국소화 프레임워크를 수직 설정에서 비세밀화 및 세밀화된 Vafa-Witten 불변량으로 확장한다.

제안 방법

• canonical bundle $ X = K_S $ 위의 $ \\bbC^* $-작용을 통한 가상 국소화를 사용하여 모듈리 공간을 고정점 집합으로 분해한다.
• Kiem과 Li의 코세션 방법을 적용하여 장애층 분석을 통해 Joyce-Song 쌍의 보편 가닥의 안정성을 제어한다.
• 수직 Joyce-Song 쌍의 모듈리 공간 $ \fP^\flat_{1^r} $을 질량 $ r $의 순서된 분할로 색인화된 서로소 합집합으로 구성한다.
• K-이론적 가상 국소화 공식을 사용하여 가상 클래스의 $ \bchi_t $-불변량을 통해 세밀화된 불변량을 계산한다.
• 결과적으로 [GT19]의 결과를 활용하여 수직 기여의 계산을 표면 $ S $의 점들에 대한 Hilbert 스킴의 곱 위의 적분으로 감소시킨다.
• 가상 리만-로흐 공식을 적용하여 세밀화된 불변량을 $ \operatorname{ch}(\det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}) $ 및 $ \Lambda^\bullet(N^\vee) $를 포함하는 타우토로지적 적분으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면에 대해 $ p_g(S) > 0 $인 경우 Vafa-Witten 불변량의 수직 기여는 잘 정의되는가?
• RQ2 수직 불변량은 안정성 경우와 동일한 타우토로지적 적분으로 유도되는가?
• RQ3 장애층의 코세션을 통해 수직 Joyce-Song 쌍의 보편 가닥의 안정성은 제어 가능한가?
• RQ4 수직 기여에 대한 세밀화된 Vafa-Witten 불변량은 가상 국소화 및 K-이론적 방법을 통해 계산 가능한가?
• RQ5 결과로 얻어진 적분은 표면 $ S $의 점들에 대한 알려진 타우토로지적 적분으로 감소 가능한가?

주요 결과

• 표면에 대해 $ p_g(S) > 0 $인 경우 수직 Vafa-Witten 불변량은 잘 정의되며, [TT17b]와 [Tho18a]의 추측을 확인한다.
• 비세밀화된 수직 기여는 $ (-1)^{\chi(\gamma(m))-1} \chi(\gamma(m)) \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert} $로 주어지며, 전체 불변량의 구조와 일치한다.
• 세밀화된 수직 기여는 모듈리 공간 $ M^n_\alpha $ 위의 합으로 계산되며, $ \mathrm{VW}_\gamma^\mathrm{vert}(t) = \sum_{\alpha,n} \chi_t\left(M^n_\alpha, \frac{\mathcal{O}^{\mathrm{vir}} \otimes \det(\mathcal{R}\mathscr{H}\mathit{om})^{1/2}}{\Lambda^\bullet(N^\vee)} \right) $이다.
• 피적분식은 $ A^*_{\bbC^*}(S_\beta^{[n]}) $에 속하는 클래스로 내림내림되며, 가상 클래스는 $ \eta_*[M^n_\alpha]^{\mathrm{vir}} = \#\operatorname{Pic}_0(S)[r] \cdot [S_\beta^{[n]}]^{\mathrm{vir}} $를 만족한다.
• 토르션 점 인자에 대한 보정을 고려한 후, 결과 적분은 [Laa18, 식 4.5]의 것과 일치하여 안정성 경우와의 일致성을 입증한다.
• 가상 리만-로흐 공식은 세밀화된 불변량을 캐런 지표와 토드 클래스를 포함하는 타우토로지적 적분으로 감소시켜, 불변량의 계산 가능성 확인한다.