[논문 리뷰] Vertices with fixed outdegrees in large Galton-Watson trees

Paul Thévenin|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 18.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 큰 조건부 갈톤-워슨 트리에서 고정된 출도수를 가진 정점들의 渐近적 행동을 연속 및 사전순 탐색 과정을 사용하여 연구한다. 제시된 제한 counting 과정이 중심화되는 데 필요한 필요조건과 충분조건을 확립하며, 변동성의 보편성 결과를 확장하고 일반 조건 하에서 점근적 정규성을 증명한다. 이는 무한 분산과 초임계적 거듭제곱 법칙 형제 분포를 포함한다.

ABSTRACT

We are interested in nodes with fixed outdegrees in large conditioned Galton--Watson trees. We first study the scaling limits of processes coding the evolution of the number of such nodes in different explorations of the tree (lexicographical order and contour order) starting from the root. We give necessary and sufficient conditions for the limiting processes to be centered, thus measuring the linearity defect of the evolution of the number of nodes with fixed outdegrees. This extends results by Labarbe & Marckert in the case of the contour-ordered counting process of leaves in uniform plane trees. Then, we extend results obtained by Janson concerning the asymptotic normality of the number of nodes with fixed outdegrees.

연구 동기 및 목표

• 크고 조건부 갈톤-워슨 트리에서 고정된 출도수를 가진 정점들의 counting 과정의 척도 극한을 분석하는 것.
• 이전의 연속 과정에서 중심화된 변동성 결과를 확장하는 것, 특히 균일 평면 트리에서의 잎 정점에 대한 Labarbe & Marckert의 결과를 포함하여.
• Janson의 고정된 출도수 수에 대한 점근적 정규성 결과를 무한 분산과 초임계적 거듭제곱 법칙 형제 분포를 포함한 더 넓은 형제 분포로 일반화하는 것.
• 적절한 재규격화 하에 조건부 트리가 α-안정 트리로 수렴하는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 갈톤-워슨 트리에서 고정된 출도수를 가진 정점 수의 변화를 코딩하기 위해 연속 및 사전순(깊이 우선) 탐색 과정을 사용한다.
• 재규격화된 counting 과정에 기능 중심극한정리 적용하여 함께 브라운 운동과 브라운 운동의 외삽으로 수렴함을 증명한다.
• 이변량 중심극한정리 및 국소극한정리의 추론을 사용하여 다수의 출도수 유형에 대한 공동 수렴을 다룬다.
• 안정 분포 이론 및 영역의 흡수 결과를 적용하여 α ∈ (1, 2]에 대해 α-안정 트리로의 수렴을 확장한다.
• 다변량 극한정리 및 조건부 조건을 사용하여 고정된 출도수 수의 점근적 분포를 유도한다.
• 루카시에비치 경로와 연속 함수를 트리 코드화 수 Mittel로 사용하며, 적절한 재규격화를 통해 보편적 극한을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 과정에서 고정된 출도수를 가진 정점의 counting 과정이 점근적으로 중심화되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 균일 평면 트리와 잎 정점 외의 경우에도 연속 과정에서 중심화된 변동성의 보편성은 유지되는가?
• RQ3 무한 분산을 가진 임계 갈톤-워슨 트리에서 고정된 출도수 수의 점근적 정규성은 일반화될 수 있는가?
• RQ4 크고 조건부 트리에서 다수의 고정된 출도수 수의 공동 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ5 µA > 0 인 임의의 고정된 출도수 집합 A에 대해 조건부 트리가 α-안정 트리로 수렴하는가?

주요 결과

• 연속 과정에서 고정된 출도수를 가진 정점 수의 제한 과정이 중심화되는 것은 유일하게 형제 분포가 출도수 집합 A와 관련된 특정 모멘트 조건을 만족할 때이다.
• 유한 분산을 가진 임계 갈톤-워슨 트리에서, 여러 고정된 출도수의 정규화된 수의 공동 수렴은 다변량 정규분포로 이루어지며, 공분산 구조는 출도수 집합 간의 상호작용에 따라 달라진다.
• 무한 분산의 경우, 형제 분포가 α-안정 분포의 영역에 속해 있을 때, 정규화된 counting 과정은 브라운 운동의 외삽과 독립적인 브라운 운동을 포함하는 이변량 극한으로 수렴한다.
• β > 2 인 초임계적 거듭제곱 법칙 형제 분포의 경우, 고정된 출도수의 정규화된 수는 공동으로 평균 0, 출도수 집합의 확률에 의해 결정되는 공분산 행렬을 가진 다변량 정규분포로 수렴한다.
• A에 속한 정점 수가 n인 조건부 트리 Tn^A는 적절한 재규격화 후 Gromov-Hausdorff 거리에서 α-안정 트리로 수렴한다.
• 임계 갈톤-워슨 트리가 정확히 n개의 A에 속한 출도수를 가질 점근적 확률은 C·L(n)·n^(-1-1/α)로 점근적으로 표현되며, 여기서 C는 µ와 A에 따라 달라지고, L(n)은 천천히 변화하는 함수이다.