[논문 리뷰] Vibrations in jammed solids: Beyond linear response

Thibault Bertrand, Carl F. Schreck외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Granular flow and fluidized beds인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순수하게 반발하는 마찰 없는 접촉력 하에서 고착된 입자 고체의 상도를 제안하며, 조화 진동 응답을 보이는 등좌도 고체(ICS)와 강하게 비조화 진동 응답을 보이는 저좌도 고체(HCS)를 구분한다. 주요 발견은 HCS에서의 진동 응답이 비조화적이며 방법에 따라 달라지며, 고착 상태 근처의 고착 물질에서 선형 응답 가정을 도전한다는 것이다.

ABSTRACT

We propose a `phase diagram' for particulate systems that interact via purely repulsive contact forces, such as granular media and colloidal suspensions. We identify and characterize two distinct classes of behavior as a function of the input kinetic energy per degree of freedom $T_0$ and packing fraction deviation above and below jamming onset $Δϕ=ϕ- ϕ_J$ using numerical simulations of purely repulsive frictionless disks. Iso-coordinated solids (ICS) only occur above jamming for $Δϕ> Δϕ_c(T_0)$; they possess average coordination number equal to the isostatic value ($< z> = z_{ m iso}$) required for mechanically stable packings. ICS display harmonic vibrational response, where the density of vibrational modes from the Fourier transform of the velocity autocorrelation function is a set of sharp peaks at eigenfrequencies $ω_k^d$ of the dynamical matrix evaluated at $T_0=0$. Hypo-coordinated solids (HCS) occur both above and below jamming onset within the region defined by $Δϕ> Δϕ^*_-(T_0)$, $Δϕ< Δϕ^*_+(T_0)$, and $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$. In this region, the network of interparticle contacts fluctuates with $< z> \approx z_{ m iso}/2$, but cage-breaking particle rearrangements do not occur. The HCS vibrational response is nonharmonic, {\it i.e} the density of vibrational modes $D(ω)$ is not a collection of sharp peaks at $ω_k^d$, and its precise form depends on the measurement method. For $Δϕ> Δϕ_{cb}(T_0)$ and $Δϕ< Δϕ^*_{-}(T_0)$, the system behaves as a hard-particle liquid.

연구 동기 및 목표

• 순수하게 반발하는 力하에서 고착된 입자계의 진동 응답을 이해하기 위해, 특히 고착 상태 근처에서의 행동을 분석한다.
• 운동 에너지 $T_0$와 밀도 분포 편차 $\Delta\phi$에 따라 이러한 시스템에서 기계적 및 진동 행동의 구분된 클래스를 식별하고 특성화한다.
• 진동 모드를 직접 측정함으로써 선형 응답 가정을 도전하며, 이를 통해 유추하는 것과 대비시킨다.
• 특히 입자 재배열이 없는 조건에서 접촉 네트워크의 변동성이 진동 스펙트럼을 결정하는 데 미치는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 순수하게 반발하는 이중 크기의 마찰 없는 디스크 $N$개의 수치 시뮬레이션을 수행하며, 이중 상호작용 잠재에너지 $V(r_{ij}) = \frac{\epsilon}{2}(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})^2 \Theta(1 - r_{ij}/\sigma_{ij})$를 사용한다.
• 속도 자기상관 함수의 푸리에 변환을 통해 진동 응답을 측정하여 $D(\omega^v)$를 구한다.
• $T_0=0$에서의 운동학적 행렬로부터의 $D(\omega^d)$와 이동 거리 상관 행렬로부터의 $D(\omega^s)$를 비교한다.
• $\langle z\rangle/z_{\rm iso}$와 $D(\omega)$를 기반으로 세 영역으로 분류: 등좌도 고체(ICS), 저좌도 고체(HCS), 하드 파티클 액체(HPL).
• 주어진 주파수 의존성의 모드 연화 현상을 분석하기 위해 척도 수축을 사용하며, $\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$ 형태로 피팅하여 고착 이하에서 $\nu \approx 0.25$를 도출한다.
• 효율적 직경 척도를 통해 고착 점의 열 이완 $\Delta\phi_s(T_0)$를 추정하며, $\Delta\phi_s \sim \sqrt{T_0}$의 관계를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동 에너지 $T_0$와 밀도 분포 편차 $\Delta\phi$에 따라 고착 고체의 진동 응답이 조화 행동에서 얼마나 벗어나는가?
• RQ2 변동하는 접촉 네트워크를 가진 시스템에서 조화와 비조화 진동 스펙트럼 간의 전이를 결정짓는 요소는 무엇인가?
• RQ3 다른 측정 방법이 저좌도 영역에서 왜 다른 $D(\omega)$를 도출하는가?
• RQ4 열 변동은 고착 전이와 접촉 네트워크의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 HCS에서의 비조화 진동 응답은 일반화된 척도 형태로 수축될 수 있는가?

주요 결과

• 등좌도 고체(ICS)는 $\Delta\phi > \Delta\phi_c(T_0) \sim N^{0.85} \sqrt{T_0}/A$ 영역에서 존재하며, $\langle z\rangle = z_{\rm iso}$ 이고, 진동 응답은 $\omega_k^d$에서 날카운 피크를 보이는 조화적 특성을 띤다.
• 저좌도 고체(HCS)는 $\Delta\phi > \Delta\phi_{-}^*(T_0)$, $\Delta\phi < \Delta\phi_{+}^*(T_0)$, $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ 영역에서 발생하며, $\langle z\rangle/z_{\rm iso} \approx 0.5$ 이고, 강하게 비조화 진동 응답을 보인다.
• HCS에서는 $D(\omega^v)$와 $D(\omega^s)$가 크게 다름: $D(\omega^v)$는 저주파수 피크가 더 강하고 고주파수 영역에서 곡률이 $D(\omega^s)$와 반대이다.
• $\Delta\phi > \Delta\phi_{cb}(T_0)$ 이며 $\Delta\phi < \Delta\phi_{-}^*(T_0)$ 인 영역에서는 시스템이 하드 파티클 액체(HPL)로 행동하며, $\langle z\rangle/z_{\rm iso} \sim 0$ 이고 $D(\omega)$는 액체의 스펙트럼과 유사하다.
• 고착 이하에서는 일반화된 케이지 크기 $l_c$가 $\Delta\phi$에 비례하고, 고착 이하에서는 $\sim (\Delta\phi)^\lambda$ 형태로 $\lambda \gtrsim 2$로 스케일링된다.
• 모드 연화 주파수 $\omega_m^s$는 $\omega_m^s \sim \alpha \sqrt{T_0} (\Delta\phi)^\nu$ 척도 수축에 의해 수축되며, 고착 이하에서는 $\nu \approx 0.25$, 고착 이하에서는 $\nu = 1$로 나타나 서로 다른 척도 영역임을 시사한다.