[논문 리뷰] Vietoris-Rips Complexes of Regular Polygons

Henry Adams, Samir Chowdhury외 2명|ArXiv.org|2018. 07. 28.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순환 그래프 이론과 와인딩 분수를 사용하여 정다각형 $P_n$의 비에토리스–라이프스 복합체의 호모토피 유형과 지속 호몰로지에 대해 특성화한다. $n = (k+1)!!$ 인 경우, 이러한 복합체는 모든 차원의 구를 나타내며, $2l$차원 구의 수는 내접한 정삼각형 성형 별과 관련이 있으며, $P_n$의 조밀한 부분집합이 고차원에서 호모토피 유형이나 호몰로지를 유지하지 못할 수 있음을 규명한다.

ABSTRACT

Persistent homology has emerged as a novel tool for data analysis in the past two decades. However, there are still very few shapes or even manifolds whose persistent homology barcodes (say of the Vietoris-Rips complex) are fully known. Towards this direction, let $P_n$ be the boundary of a regular polygon in the plane with $n$ sides; we describe the homotopy types of Vietoris-Rips complexes of $P_n$. Indeed, when $n=(k+1)!!$ is an odd double factorial, we provide a complete characterization of the homotopy types and persistent homology of the Vietoris-Rips complexes of $P_n$ up to a scale parameter $r_n$, where $r_n$ approaches the diameter of $P_n$ as $n o\infty$. Surprisingly, these homotopy types include spheres of all dimensions. Roughly speaking, the number of higher-dimensional spheres appearing is linked to the number of equilateral (but not necessarily equiangular) stars that can be inscribed into $P_n$. As our main tool we use the recently-developed theory of cyclic graphs and winding fractions. Furthermore, we show that the Vietoris-Rips complex of an arbitrarily dense subset of $P_n$ need not be homotopy equivalent to the Vietoris-Rips complex of $P_n$ itself, and indeed, these two complexes can have different homology groups in arbitrarily high dimensions. As an application of our results, we provide a lower bound on the Gromov-Hausdorff distance between $P_n$ and the circle.

연구 동기 및 목표

• 정다각형 $P_n$의 비에토리스–라이프스 복합체의 호모토피 유형과 지속 호몰로지를 완전히 특성화하는 것.
• 큰 스케일 매개변수에서 지속 호몰로지가 $P_n$의 기하적 특징을 어떻게 포착하는지 이해하는 것.
• 조밀한 유한 부분집합이 전체 다각형의 비에토리스–라이프스 복합체의 호모토피 유형을 유지하는지 조사하는 것.
• 위상적 불변량을 사용하여 $P_n$과 단위 원 $S^1$ 사이의 그로모프–오스도르프 거리에 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 스케일 $r < r_n$ 에서 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 의 1-스켈레톤을 분석하기 위해 순환 그래프 이론과 클리크 복합체를 활용한다.
• 클리크 복합체의 호모토피 유형 내에서 구의 차원을 제어하기 위해 와인딩 분수 개념을 적용한다.
• 스케일 $r$ 과 $n = q(2l+1)$ 의 값에 따라 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 가 구의 와이드 합 또는 홀수 차원의 구와 호모토피 동치임을 규명한다.
• 스케일 매개변수 $s_{n,l}$ 과 $t_{n,l}$ 을 사용하여 $r$ 의 범위를 분할하고 간격 내에서 호모토피 유형을 분류한다.
• 메트릭 기하학 도구, 특히 거리 함수의 하우스도르프 거리를 활용하여 $P_n$ 과 $S^1$ 사이의 그로모프–오스도르프 거리에 하한을 도출한다.
• 큰 스케일에서 지속 호몰로지의 행동을 분석하며, 라츠셰프의 정리와 같은 소규모 스케일 수렴 결과와 대비한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $n$ 과 $r$ 에서 비에토리스–라이프스 복합체 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 가 구의 와이드 합 또는 홀수 차원의 구와 호모토피 동치인가?
• RQ2 내접한 정삼각형 성형 별의 수는 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 내의 고차원 구의 수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 조밀한 유한 부분집합의 비에토리스–라이프스 복합체가 고차원에서조차 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 와 호모토피 동치가 아니 될 수 있는가?
• RQ4 큰 스케일 매개변수에서 $P_n$ 의 지속 호몰로지와 원 $S^1$ 의 지속 호몰로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 리만 다양체 $M$ 의 비에토리스–라이프스 복합체가 임의의 표본 조밀도에서 모든 $r>0$ 에 대해 $\mathbf{VR}(M;r)$ 와 호모토피 동치로 유지되는가?

주요 결과

• 모든 $n = q(2l+1)$ 에 대해, $s_{n,l} < r \leq t_{n,l}$ 일 때 $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r)$ 는 $\bigvee^{q-1} S^{2l}$ 과 호모토피 동치이며, $t_{n,l} < r \leq s_{n,l+1}$ 일 때는 $S^{2l+1}$ 과 호모토피 동치이다.
• 만일 $r < \tilde{r} \leq t_{n,l}$ 이나 $t_{n,l} < r < \tilde{r} \leq s_{n,l+1}$ 이면 포함사상 $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r) \hookrightarrow \mathbf{VR}_{<}(P_n;\tilde{r})$ 는 호모토피 동치이므로, 간격 내에서 호모토피 유형이 안정적임을 나타낸다.
• 임의로 조밀한 부분집합의 비에토리스–라이프스 복합체는 고차원에서조차 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 와 다른 호몰로지 군을 가질 수 있다.
• 짝수 $n \geq 6$ 에 대해 $P_n$ 과 $S^1$ 사이의 그로모프–오스도르프 거리는 $0.116$ 이상으로 하한이 있으며, 이는 순수하게 메트릭 기하학으로부터 유도된 하한보다 더 날카롭다.
• $0.116$ 의 하한은 메트릭 기반의 하한인 $0.0986$ 보다 더 우수한 성능을 보이며, 지속 호몰로지로부터 도출된 것이다.
• 논문은 질문 9.3에 대해 부정적인 답변을 제시하며, $n \to \infty$ 일지라도 조밀한 부분집합 $X \subset P_n$ 에 대해 $\mathbf{VR}(X;r)$ 의 호모토피 유형이 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ 와 일치하지 않을 수 있음을 보여준다.