[논문 리뷰] Virtual Control Contraction Metrics: Convex Nonlinear Feedback Design via Behavioral Embedding

Ruigang Wang, Roland Tóth외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 18.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 36인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 사용자가 정의한 기준 경로에 대해 전역 지수 안정성과 $\mathcal{L}_2$-이득 성능을 보장하는 볼록 비선형 피드백 설계 방법인 가상 제어 수축 메트릭(VCCM)을 소개한다. 비선형 동역학을 가상 시스템에 통합하고 상태에 따라 변하는 수축 메트릭을 활용함으로써, 엄밀한 안정성 보장을 갖는 볼록 최적화 기반 제어 합성 기법을 가능하게 하며, 국소적 및 전역적 LPV 제어를 통합하면서도 기존 LPV 실현 방식에서 발생하는 불안정성 위험을 해결한다.

ABSTRACT

This paper presents a systematic approach to nonlinear state-feedback control design that has three main advantages: (i) it ensures exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance with respect to a user-defined set of reference trajectories, and (ii) it provides constructive conditions based on convex optimization and a path-integral-based control realization, and (iii) it is less restrictive than previous similar approaches. In the proposed approach, first a virtual representation of the nonlinear dynamics is constructed for which a behavioral (parameter-varying) embedding is generated. Then, by introducing a virtual control contraction metric, a convex control synthesis formulation is derived. Finally, a control realization with a virtual reference generator is computed, which is guaranteed to achieve exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance for all trajectories of the targeted reference behavior. We show that the proposed methodology is a unified generalization of the two distinct categories of linear-parameter-varying (LPV) state-feedback control approaches: global and local methods. Moreover, it provides rigorous stability and performance guarantees as a method for nonlinear tracking control, while such properties are not guaranteed for tracking control using standard LPV approaches.

연구 동기 및 목표

• 비선형 추적 문제에 대한 표준 LPV 제어에서 안정성 및 성능 보장을 확보하지 못하는 문제를 해결하기 위해.
• 일반적인 안정화에 국한되지 않고, 목표 지정 경로 가족으로까지 제어 수축 메트릭(CCm) 이론을 일반화하기 위해.
• 국소적 및 전역적 LPV 제어 접근 방식을 단일 볼록 최적화 프레임워크 아래 통합하기 위해.
• 지수 안정성과 $\mathcal{L}_2$-이득 성능을 보장하는 경로 적분 기반의 구축 가능한 제어 실현 방식을 제공하기 위해.
• 기본적인 LPV 이득 스케줄링에서 동역학과 매개변수 변화 간 숨겨진 결합으로 인해 발생하는 불안정성 위험을 제거하기 위해.

제안 방법

• 매개변수 변화가 가능한 임베딩을 사용하여 비선형 시스템의 가상 표현을 구축하기.
• 사용자가 정의한 기준 집합 $\mathcal{B}^*$에 대해 지수 안정성과 $\mathcal{L}_2$-이득 성능를 유도하기 위한 가상 제어 수축 메트릭(VCCM)을 정의하기.
• VCCM 상에서 상태에 따라 변하는 선형행렬부등식(LMI)을 통해 볼록 제어 합성 공식을 유도하기.
• 경로에 따라 변하는 동역학의 편차를 보상하기 위해 가상 기준 신호 생성기와 피드포워드 제어 법칙을 설계하기.
• $\mathcal{B}^*$에 속한 모든 경로에 대해 안정성과 성능을 보장하는 경로 적분 기반 제어 실현 방식을 구현하기.
• 가상 컨트롤러가 목표 설정점에 정확히 안정화되도록 보장하기 위해 조건 C2를 강제 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사용자가 정의한 기준 경로 가족에 대해 지수 안정성과 $\mathcal{L}_2$-이득 성능를 보장하는 볼록 비선형 피드백 설계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제어 수축 메트릭 이론은 모든 가능한 경로가 아닌 특정 경로 집합을 추적하는 약한 안정화 문제로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 제안된 VCCM 프레임워크는 국소적 및 전역적 LPV 제어 접근 방식을 어떻게 통합하면서도 각각의 안정성 함정을 피하는가?
• RQ4 LPV 기반 제어 실현이 비선형 추적 문제에 적용되었을 때 안정성 및 성능 보장을 유지하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 표준 LPV 실현 방식은 왜 비영인 설정점에서 안정성 및 성능을 유지하지 못하며, 이를 어떻게 수정할 수 있는가?

주요 결과

• VCCM 방법은 표준 LPV 방법이 실패할 경우에도 사용자가 정의한 기준 집합 $\mathcal{B}^*$에 속한 모든 경로에 대해 전역 지수 안정성과 $\mathcal{L}_2$-이득 성능를 보장한다.
• 이 방법은 전역 LPV 제어에서 발생하는 불안정성을 피하기 위해 매개변수 변화에 따른 동역학 불일치를 보상하는 피드포워드 항 $\kappa^{\mathrm{ff}}$ 를 도입함으로써 이를 해결한다.
• 예제 5는 비영인 설정점에서 표준 전역 LPV 제어가 잘못된 평형점으로 수렴하거나 불안정해질 수 있음을 보여주며, VCCM 컨트롤러는 항상 목표 경로를 안정화함을 보여준다.
• VCCM 합성은 볼록적이며, 준정적 프로그래밍을 통해 계산 가능하므로 비선형 시스템에 대한 효율적인 컨트롤러 설계를 가능하게 한다.
• 이 방법은 국소적 및 전역적 LPV 제어를 일반화하여 더 강력한 이론적 보장을 갖는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 이론적 분석을 통해 조건 C2가 가상 컨트롤러가 목표 설정점에 정확히 안정화되도록 보장하며, 오차 동역학 내 $\Delta$-항으로 인한 불안정성을 제거함을 밝혀냈다.