[논문 리뷰] Virtual counts on Quot schemes and the higher rank local DT/PT correspondence

Sjoerd Viktor Beentjes, Andrea T. Ricolfi|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 Gholampour–Kool의 Quot 스킴에 대한 함수방정식에 대해, 매끄러운 3차원 다양체 $X$ 위의 국소적으로 자유인 층 $\mathcal{F}$에 대해 Quot 스킴 $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 가 대칭적인 오염 이론을 갖는다는 것을 증명함으로써, 이에 대한 가상의 보완을 수립한다. 이를 통해 그 가상 오일러 특성수를 계산할 수 있으며, Toda의 고계수 DT/PT 대응관계를 고정된 기울기 안정성 층 중심의 국소적 형태로 확장하여 Quot 스킴의 함수방정식과 Toda의 DT/PT 벽을 넘는 공식 사이의 관계를 명확히 한다.

ABSTRACT

We show that the Quot scheme $ ext{Quot}_{\mathbf{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ admits a symmetric obstruction theory, and we compute its virtual Euler characteristic. We extend the calculation to locally free sheaves on smooth $3$-folds, thus refining a special case of a recent Euler characteristic calculation of Gholampour-Kool. We then extend Toda's higher rank DT/PT correspondence on Calabi-Yau $3$-folds to a local version centered at a fixed slope stable sheaf. This generalises (and refines) the local DT/PT correspondence around the cycle of a Cohen-Macaulay curve. Our approach clarifies the relation between Gholampour-Kool's functional equation for Quot schemes, and Toda's higher rank DT/PT correspondence.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 자유인 케이스에서 Gholampour–Kool의 Quot 스킴에 대한 함수방정식에 대한 가상의 보완을 수립하는 것.
• Toda의 고계수 DT/PT 대응관계를 고정된 기울기 안정성 층 중심의 국소적 형태로 확장하는 것.
• Gholampour–Kool의 Quot 스킴 함수방정식과 Toda의 고계수 DT/PT 대응관계 사이의 형식적 유사성을 명확히 하는 것.
• 매끄러운 3차원 다양체 $X$ 위의 국소적으로 자유인 층 $\mathcal{F}$에 대해 Quot 스킴 $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 의 가상 오일러 특성수를 계산하는 것.
• 벽을 넘는 인자에 대한 기하학적 해석을 상대 Quot 스킴과 PT 쌍의 모듈리 공간을 통해 제공하는 것.

제안 방법

• Quot 스킴 $\operatorname{Quot}_{\mathbb{A}^3}(\mathcal{O}^r,n)$ 가 임계 집합임을 보여, 대칭적인 완전한 오염 이론을 갖는다는 것을 증명한다.
• Behrend의 가상 오일러 특성수 $\widetilde{\chi}(Y) = \sum_k k \cdot \chi(\nu_Y^{-1}(k))$ 를 사용하여 Quot 스킴에 가상 수를 정의한다.
• 상대 Quot 스킴에서 PT 쌍의 모듈리 공간으로의 사상 $\psi_{\alpha,n}$ 를 구성하고, 이것이 닫힌 매장임을 보인다.
• 유도 쌍대성과 기저 변경을 활용하여 $\mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$-몫을 유도 삼각형을 통해 PT 쌍과 연결한다.
• 가치 기준과 $\mathbb{C}$-점에서의 단사성을 이용하여 $\psi_{\alpha,n}$ 의 완비성과 닫힌 매장 성질을 증명한다.
• 등식 $\mathbf{R}\mathscr{H}om(E,F) \cong \mathbf{R}\mathscr{H}om(F^\vee,E^\vee)$ 를 사용하여 PT 쌍 삼각형의 유도 쌍대를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gholampour–Kool의 Quot 스킴 함수방정식은 대칭적인 오염 이론을 통해 어떻게 가상의 보완으로 승격될 수 있는가?
• RQ2 매끄러운 3차원 다양체 $X$ 위의 국소적으로 자유인 층 $\mathcal{F}$ 에 대해 $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 의 가상 오일러 특성수는 무엇인가?
• RQ3 Toda의 고계수 DT/PT 대응관계는 고정된 기울기 안정성 층 중심으로 국소화될 수 있는가?
• RQ4 고계수 설정에서 상대 Quot 스킴과 PT 쌍의 모듈리 공간 사이의 기하학적 관계는 무엇인가?
• RQ5 Toda의 대응관계에서 벽을 넘는 인자는 Quot 스킴의 구조에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 매끄러운 3차원 다양체 $X$ 위의 질량 $r$ 의 국소적으로 자유인 층 $\mathcal{F}$ 에 대해 Quot 스킴 $\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)$ 은 대칭적인 완전한 오염 이론을 갖는다.
• 가상 오일러 특성수 생성함수는 $\sum_{n \geq 0} \widetilde{\chi}(\operatorname{Quot}_{X}(\mathcal{F},n)) q^n = \mathsf{M}((-1)^r q)^{r \chi(X)}$ 이며, 여기서 $\mathsf{M}(q)$ 는 MacMahon 함수이다.
• 사상 $\psi_{\alpha,n} : Q(\alpha,n) \to M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ 는 닫힌 매장이며, 기하학적 전단사성을 확립한다.
• PT 쌍의 모듈리 공간 $M_{\operatorname{PT}}(r,D,-\beta)$ 는 $\mathscr{E}xt^1(\mathcal{F},\mathcal{O}_X)$ 의 몫을 매개변수화하는 상대 Quot 스킴으로의 분할이 존재한다.
• 국소적 고계수 DT/PT 대응관계는 Gholampour–Kool의 함수방정식의 가상 보완으로 실현되며, 벽을 넘는 인자는 Quot 스킴의 가상 구조에서 기인한다.
• 결과는 랭크 1의 점 기여도를 고계수 DT 이론으로 일반화하여, MNOP 추측의 가상 해석을 제공한다.