[논문 리뷰] Virtual Element Formulation For Finite Strain Elastodynamics

Mertcan Cihan, Aldakheel, F.외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 변형 탄성역학에 대한 저차수 가상요소법(Virtual Element Method, VEM) 수식을 제시하며, 임의의 다각형 및 다면체 메esh를 사용하여 큰 변형의 역학적 거동을 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 한다. 이 방법은 안정화가 필요 없이 오직 투영을 통해 질량행렬을 계산하며, 암시적 Newmark 시간 적분을 사용하여 선형 근사 함수와 중심점 기반 적분을 사용함에도 불구하고 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

The virtual element method (VEM) can be seen as an extension of the classical finite element method (FEM) based on Galerkin projection. It allows meshes with highly irregular shaped elements, including concave shapes. So far the virtual element method has been applied to various engineering problems such as elasto-plasticity, multiphysics, damage and fracture mechanics. This work focuses on the extension of the virtual element method to efficient modeling of nonlinear elasto-dynamics undergoing large deformations. Within this framework, we employ low-order ansatz functions in two and three dimensions for elements that can have arbitrary polygonal shape. The formulations considered in this contribution are based on minimization of potential function for both the static and the dynamic behavior. Generally the construction of a virtual element is based on a projection part and a stabilization part. While the stiffness matrix needs a suitable stabilization, the mass matrix can be calculated using only the projection part. For the implicit time integration scheme, Newmark-Method is used. To show the performance of the method, various two- and three-dimensional numerical examples in are presented.

연구 동기 및 목표

• 큰 변형 문제에 대한 가상요소법(Virtual Element Method, VEM)에서의 동적 수식화 부족을 보완한다.
• VEM을 정적 응용에서 유한 변형 탄성역학의 동적 응용으로 확장한다.
• 안정화를 피하기 위해 오직 투영 부분에 의존함으로써 안정적이고 효율적인 질량행렬 수식을 개발한다.
• 1D, 2D, 3D에서 임의의 다각형 및 다면체 요소를 사용한 동적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 비선형 탄성역학의 기준 예제를 통해 방법의 정확성과 강건성을 시연한다.

제안 방법

• 변형 에너지, 운동 에너지, 외부 일의 합으로 이루어진 총 포텐셜 함수의 최소화를 통해 동적 문제를 수식화한다.
• 가우스키 프로젝션을 사용하여 변위 근사 함수를 다항식 투영과 나머지 항으로 분리한다.
• 안정화를 피하기 위해 요소 질량행렬을 근사 함수의 오직 투영 부분만을 사용하여 계산한다.
• 운동 방정식의 암시적 시간 적분을 위해 Newmark-β 방법을 적용한다.
• Wriggers 등 [6]의 기법에 기반한 하위삼각형 메쉬 기반 기법을 사용하여 스텝 행렬만 안정화한다. 이는 원래 요소와 동일한 노드를 갖는 하위메쉬 위에서 적분된다.
• 질량행렬의 적분을 요소의 중심점에서 평가함으로써, 하위삼각형 메쉬나 관성모멘트 계산 없이도 충분한 정확도를 확보함을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 다각형/다면체 요소를 사용할 때 VEM이 큰 변형 탄성역학의 동적 문제에 효과적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 VEM의 동적 문제에서 질량행렬은 안정화가 필요한가, 아니면 오직 투영 부분에서만 계산해도 되는가?
• RQ3 3D 동적 문제에서 질량행렬을 중심점 기반 적분만으로 평가할 경우, VEM 수식의 정확도는 어떠한가?
• RQ4 선형 근사 함수와 최소한의 안정화를 사용할 때, 제안된 VEM 수식이 고차수 FEM과 유사한 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 3D 구조물에서 파동 전파 및 큰 변형과 같은 비선형 동적 거동을 어떻게 잘 포착하는가?

주요 결과

• 오직 투영 부분에서만 질량행렬을 계산함으로써, 3D 문제에서도 안정화 없이 매우 정확한 결과를 도출한다.
• 선형 근사 함수와 중심점 기반 적분을 사용한 VEM-H2S 수식은 오직 256개의 가상요소로도 기준 FEM-H2 해(3200개 요소)와 정확히 일치한다.
• 3D 파동 전파 예제에서 VEM-H2S의 응답은 해석적 해와 FEM-H1과 거의 정확히 일치하며, 시간에 따른 변위 오차는 극히 미미하다.
• 두꺼운 빔 진동 기준 예제에서 VEM-H1과 FEM-H1은 메쉬를 세밀하게 할수록 기준 해에 수렴하지만, VEM-H2S는 굽힘 모드를 더 정확히 포착함으로써 우수한 정확도를 보인다.
• 임의의 노드 수와 형태를 가진 보로이 요소를 사용하여도 정확한 결과를 도출함으로써, 복잡한 비凸 메쉬에 대해서도 방법의 강건성을 확인하였다.
• 질량행렬 적분을 요소의 중심점에서만 평가하는 것으로도 충분한 정확도를 확보할 수 있으며, 하위삼각형 메쉬나 관성모멘트 계산의 필요성을 제거한다.