[논문 리뷰] Virtual Element Method for geomechanics on reservoir grids

Odd Andersen, Halvor Møll Nilsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 30.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고도로 기울여진 다면체 요소를 가진 복잡한 저류체 격자에서 지구역학적 시뮬레이션을 위한 강건한 가상요소법(Virtual Element Method, VEM)을 제안한다. 정확한 응력 기반 하중 계산과 수정된 안정화 항이 길쭉하고 곡면을 가진 요소에서 성능을 크게 향상시키며, 이는 재메시피팅 없이 코너포인트 격자 그대로에서 안정적이고 정확한 해를 도출할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper we study the use of Virtual Element method for geomechanics. Our emphasis is on applications to reservoir simulations. The physical processes that form the reservoirs, such as sedimentation, erosion and faulting, lead to complex geometrical structures. A minimal representation, with respect to the physical parameters of the system, then naturally leads to general polyhedral grids. Numerical methods which can directly handle this representation will be highly favorable, in particular in the setting of advanced work-flows. The Virtual Element method is a promising candidate to solve the linear elasticity equations on such models. In this paper, we investigate some of the limits of the VEM method when used on reservoir models. First, we demonstrate that care must be taken to make the method robust for highly elongated cells, which is common in these applications, and show the importance of calculating forces in terms of traction on the boundary of the elements for elongated distorted cells. Second, we study the effect of triangulations on the surfaces of curved faces, which also naturally occur in subsurface models. We also demonstrate how a more stable regularization term for reservoir application can be derived.

연구 동기 및 목표

• 고비율의 고도로 기울여진 요소와 곡면을 가진 복잡하고 현실적인 저류체 격자에서 직접 정확한 지구역학적 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 코너포인트 격자에서 흔히 발생하는 길쭉하고 기울어진 요소에서 표준 VEM의 안정화 및 하중 계산이 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 곡면과 복잡한 기하학적 구조를 가진 격자에서도 정확도를 유지하는 안정적이고 정확한 VEM 수식을 개발하기 위해.
• 재메시피팅 없이 원본 저류체 격자 그대로 VEM을 사용할 수 있음을 입증하여 삼각형 분할이나 단순화로 인한 정확도 손실을 방지하기 위해.
• MRST 플랫폼을 사용한 저류체 시뮬레이션 워크플로우와 호환되는 실용적이고 구현 가능한 VEM 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 일반적인 다면체 격자, 특히 고비율 및 곡면을 가진 격자에서 선형 탄성 방정식을 해결하기 위해 가상요소법(Virtual Element Method, VEM)을 적용한다.
• 2차원에서의 강건성을 향상시키기 위해 사각형 요소에서 유한요소법(FEM)과 정확히 동일한 결과를 도출하는 안정화 항을 유도하여 수정된 안정화 항을 사용한다.
• 요소 경계면에서의 응력 기반 하중 계산을 위한 이산 기울기 접근법을 구현하여 안정화 선택에 대한 민감도를 감소시킨다.
• 로컬 이차형식과 안정화 항을 일관되게 구성하는 투영 기반 VEM 수식을 사용한다.
• 비교를 위해 곡면은 삼각형 분할을 적용하지만, 원본 곡면 격자를 사용하여 기하학적 근사 오차를 평가한다.
• 분석적 해와 벤치마크 모델(sbed 및 Norne 저류체)을 MRST 프레임워크 내에서 사용하여 FEM 및 정확한 해와 직접 비교함으로써 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저류체의 코너포인트 모델에서 흔히 발생하는 고도로 기울여진 다면체 격자에 대해 VEM을 강건하게 적용할 수 있는가?
• RQ2 저류체 시뮬레이션에서 길쭉하고 기울어진 요소에 적용할 때 안정화 항의 선택이 VEM의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 요소 경계면에서의 응력 기반 하중 계산 방식이 표준 부피력 수식 대비 안정성과 정확도를 향상시키는가?
• RQ4 저류체 격자 모델의 곡면이 VEM 해의 정확도에 어느 정도 영향을 미치며, 실무에서는 안전하게 忽略할 수 있는가?
• RQ5 특히 복잡한 지질학적 특징이 있는 3차원에서, 재메시피팅이나 단순화 없이 VEM이 원본 저류체 격자에서 고정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 VEM 안정화 항은 고도로 기울여진 요소에서 심각하게 실패하여 단순한 2차원 사례에서도 이차형식의 악화된 조건으로 인해 큰 오차를 유발한다.
• 사각형 요소에서 FEM와 정확한 등가를 가지는 안정화 항을 유도하여 수정한 결과, 고비율 요소에 대해 2차원에서 강건성과 정확도가 크게 향상된다.
• 응력 기반 하중 계산 방법은 2차원 및 3차원 모두에서 강건하며 안정화 선택에 대한 민감도가 최소화되어, 허니컴 노드나 곡면이 있는 복잡한 격자에 적합하다.
• 곡면을 삼각형 분할하는 것은 전체 해에 비해 무시할 만한 오차만 유발하며, 원본 곡면 격자에서는 분석적 해와 유사한 결과를 도출한다.
• Norne 저류체 모델에서 VEM은 복잡한 단층과 곡면 기둥이 존재하는 상황에서도 고정확도를 달성하여 실제 지질학적 격자에서의 강건성을 확인한다.
• sbed 모델의 경우 오차 분포가 하단과 상단의 추가 노드를 명확히 구분하며, 이는 노드 배치와 기하학적 구조가 국소 오차에 상당한 영향을 미친다는 것을 시사하며, 적절한 안정화 및 하중 처리로 이 오차가 완화됨을 보여준다.