[논문 리뷰] Viscosity Solution for Optimal Stopping Problems of Feller Processes

Suhang Dai, Olivier Menoukeu Pamen|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 펠러 과정에 의해 구동되는 최적 정지 문제에 대한 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 점성 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 특히 생성자에 대한 특정 형태의 가정 없이도 성립한다. 펠러 준군 성질과 페널티 방법을 활용하여, 가치 함수가 유일한 점성 해임을 증명함으로써 이전 연구에서 제기된 추측을 해결하고, 조각별 계수를 가진 확산 과정과 반정마르코프 과정과 같은 과정들로의 적용 가능성을 넓혔다.

ABSTRACT

We study an optimal stopping problem when the state process is governed by a general Feller process. In particular, we examine viscosity properties of the associated value function with no a priori assumption on the stochastic differential equation satisfied by the state process. Our approach relies on properties of the Feller semigroup. We present conditions on the state process under which the value function is the unique viscosity solution to an Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation associated with a particular operator. More specifically, assuming that the state process is a Feller process, we prove uniqueness of the viscosity solution which was conjectured in [26]. We then apply our results to study viscosity property of optimal stopping problems for some particular Feller processes, namely diffusion processes with piecewise coefficients and semi-Markov processes. Finally, we obtain explicit value functions for optimal stopping of straddle options, when the state process is a reflected Brownian motion, Brownian motion with jump at boundary and regime switching Feller diffusion, respectively (see Section 8).

연구 동기 및 목표

• 기저 과정이 일반적인 펠러 과정일 때 최적 정지 문제에 대한 점성 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 펠러 준군의 맥락에서 점성 해의 유일성에 관해 [26]에서 제기된 추측을 해결하는 것.
• 생성자가 명시적으로 미분 연산자로 표현되지 않는 일반적인 마르코프 과정에 적용 가능한 분석적 프레임워크를 제공하는 것.
• 조각별 계수를 가진 확산 과정과 반정마르코프 과정과 같은 과정들로 점성 해 이론을 확장하는 것. 이는 최적 정지 문헌에서 다소 간과된 과정들이다.
• 반사 브라운 운동과 제도 전환 확산 과정을 포함한 특정 펠러 확산 과정 하에서 스트래들 옵션에 대한 명시적 가치 함수를 유도하는 것.

제안 방법

• 차분 연산자에 직접 의존하지 않도록, 부드러운 함수를 통한 가치 함수의 근사화를 위해 페널티 방법을 활용한다.
• 확장된 과정의 무한소 생성자를 한점 컴actification 공간에서 정의하기 위해 펠러 준군의 구조를 활용한다.
• 일차원 반정마르코프 과정을 분석하기 위해 페르터브레이션 이론을 적용하여 이차원 마르코프 과정으로 변환한다.
• 생성자의 코어 성질과 정의역의 동치성을 증명함으로써, 가치 함수가 HJB 방정식의 유일한 점성 해임을 확립한다.
• HJB 연산자를 특징짓기 위해, 준군 작용의 극한을 통해 $\mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial)$ 위에서 정의된 확장 생성자 $\tilde{\mathcal{L}}$ 를 사용한다.
• 점성 해의 수렴성과 잘 정의됨을 보장하기 위해 $D(\tilde{\mathcal{G}})$ 가 $D(\tilde{\mathcal{L}})$ 내의 코어 성질을 갖는다는데 기반을 두고 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펠러 과정에 대한 최적 정지 문제에서 가치 함수가 관련 HJB 방정식의 유일한 점성 해가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 차분 생성자가 존재하지 않는 상황에서, 준군 성질에만 기반하여 점성 해의 유일성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 펠러 과정의 맥락에서, 페널티 방법이 가치 함수로의 수렴을 보장하도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 조각별 계수를 가진 확산 과정과 반정마르코프 과정에 대한 최적 정지 문제의 점성 성질은 무엇인가?
• RQ5 반사 브라운 운동 또는 제도 전환 확산 과정과 같은 특정 펠러 확산 과정 하에서 스트래들 옵션에 대한 명시적 가치 함수를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 펠러 과정에 대한 최적 정지 문제에서 가치 함수는 HJB 방정식의 유일한 점성 해이며, 이는 [26]에서 제기된 추측을 해결한다.
• 확장된 과정의 무한소 생성자 $\tilde{\mathcal{L}}$ 는 $D(\tilde{\mathcal{L}}) = \{ w \in \mathcal{C}(\mathsf{E}_\partial) \mid (w - w(\partial))|_\mathsf{E} \in D(\mathcal{L}) \}$ 를 만족하여 정의역의 동치성을 확립한다.
• $\tilde{\mathcal{L}}$ 의 $D(\tilde{\mathcal{G}})$ 에 대한 제한은 잘 정의되어 있으며, $\tilde{\mathcal{L}}$ 의 코어를 이룬다. 이는 근사의 수렴성을 보장한다.
• 조각별 계수를 가진 확산 과정의 경우, 특수한 연산자를 갖는 HJB 방정식의 점성 해임이 증명되었으며, 이는 코로나리 7.9 및 7.10에서 보여진다.
• 반정마르코프 과정의 경우, 페르터브레이션 이론을 통해 과정을 이차원 마르코프 과정으로 변환한 후 가치 함수는 유일한 점성 해가 된다.
• 반사 브라운 운동, 경계 점프를 가진 브라운 운동, 제도 전환 펠러 확산 과정 하에서 스트래들 옵션에 대한 명시적 가치 함수가 제8장에서 도출되었다.