[논문 리뷰] Viscosity Solutions of Systems of Variational Inequalities with Interconnected Bilateral Obstacles

Boualem Djehiche, Said Hamad egrave ne외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 31인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 상태에 의존하는 전환 비용을 갖는 두 명의 플레이어로 구성된 전환 게임을 모델링하는 이중 경계 장벽을 갖는 두 번째 차수의 변분부등식 시스템에 대해 다항식 성장 조건을 만족하는 연속 점성 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 페널라이제이션된 역방향 확률미분방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)과 확률적 접근법을 사용하여, 페론의 방법을 통해 하위해와 상위해를 구성하고, 새로운 비교 원리로 유일성을 증명함으로써 오랫동안 미해결이었던 확률적 제어 이론에서의 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study a general class of nonlinear second-order variational inequalities with interconnected bilateral obstacles, related to a multiple modes switching game. Under rather weak assumptions, using systems of penalized unilateral backward SDEs, we construct a continuous viscosity solution of polynomial growth. Moreover, we establish a comparison result which in turn yields uniqueness of the solution.

연구 동기 및 목표

• 두 명의 플레이어로 구성된 전환 게임에서 발생하는 상호 연결된 이중 경계 장벽을 갖는 변분부등식 시스템에 대해 연속 점성 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 기존 문헌에서 표준 존재성 및 유일성 결과를 복잡하게 만드는 상태에 의존하는 전환 비용 문제를 다룬다.
• 해결 방법에 기반한 반사 BSDEs를 사용한 확률적 프레임워크를 개발하여 확률적 표현과 PDE 시스템을 연결한다.
• 해가 장벽에 의존하는 BSDEs에 대해 표준 조건(예: Mokobodski 또는 엄격한 분리 조건)이 성립하지 않는 문제를 해결한다.
• 유계 영역 내 타원형 시스템에 대한 이전 결과를 전체 공간 ℝᵏ으로 확장하고 다항식 성장 해를 고려한다.

제안 방법

• 표준 전환 문제와 연결된 페널라이제이션된 반사 BSDEs의 수열을 사용하여 증가 및 감소하는 두 개의 근사 스킴을 구성한다.
• 파인만-카프 공식을 사용하여 페널라이제이션된 BSDE의 해와 페널라이제이션된 PDE의 해를 연결함으로써 점성 하위해와 상위해를 구성할 수 있도록 한다.
• 점성 하위해와 상위해에 대해 비교 원리를 확립하여, 다항식 성장 조건을 만족하는 연속 함수의 클래스에서 해의 유일성을 보장한다.
• 페론의 방법을 적용하여, 상위해에 의해 위에서 유계인 모든 하위해의 점별 최대값으로서 점성 해를 구성한다.
• 감소하는 페널라이제이션 스킴의 극한이 고유한 점성 해로 식별되며, 이는 유일성 결과에 기반한다.
• 해가 장벽에 의존하는 경우를 다룰 수 있도록 역방향 SDE와 점성 이론의 기법을 적응하여, 이 프레임워크의 핵심적 신규성인 장벽이 해에 의존하는 상황을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 상태 공간 ℝᵏ에서 상호 연결된 이중 경계 장벽을 갖는 변분부등식 시스템에 대해 다항식 성장 조건을 만족하는 연속 점성 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 장애물이 해에 의존하고 표준 조건(예: Mokobodski)이 성립하지 않을 경우에도 이러한 시스템에 대해 비교 원리가 성립하는가?
• RQ3 해가 장애물에 의존하고 표준 존재성/유일성 조건이 성립하지 않는 관련 반사 BSDE 시스템이 존재할 경우, 해는 페널라이제이션 스킴을 통해 얻을 수 있는가?
• RQ4 계수와 전환 비용에 대한 약한 가정 하에 연속 함수이면서 다항식 성장 조건을 만족하는 해의 클래스에서 해가 유일한가?
• RQ5 장애물이 상호 연결되어 있고 해에 의존하는 경우, 페론의 방법을 적응하여 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 계수와 전환 비용에 대한 온건한 가정 하에 전체 공간 ℝᵏ에서 이중 경계 장벽을 갖는 변분부등식 시스템은 다항식 성장 조건을 만족하는 고유한 연속 점성 해를 갖는다.
• 이 시스템에 대해 비교 원리가 확립되어 있으며, 이는 다항식 성장 조건을 만족하는 연속 함수의 클래스에서 점성 해의 유일성을 보장한다.
• 해는 반사 BSDEs를 사용한 페널라이제이션 스킴을 통해 구성되며, 이 스킴의 감소 극한이 고유한 점성 해로 식별된다.
• 이 방법은 Mokobodski 또는 장벽의 엄격한 분리 조건과 같은 표준 조건이 성립하지 않는 문제를 회피한다. 이는 해에 의존하는 장벽으로 인해 이러한 조건이 성립하지 않기 때문이다.
• 해는 페널라이제이션 과정에서 안정적이며, 극한이 연속적이고 다항식 성장 조건을 만족함을 보였다.
• 해의 하한 레벨에 대한 이중 변분부등식 시스템이 식별되었으며, 그 유일한 해 역시 연속적이고 다항식 성장 조건을 만족한다.