[논문 리뷰] Viscosity Solutions to Second Order Path-Dependent Hamilton-Jacobi-Bellman Equations and Applications

Jianjun Zhou|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 경로에 의존하는 확률적 미분 방정식(optimal control of path-dependent stochastic differential equations)에서 발생하는 이차 경로에 의존하는 해밀턴-자코비-벨리만(PHJB) 방정식을 위한 점성 해법 프레임워크를 제안한다. 최적 제어 문제의 가치 기능이 관련된 PHJB 방정식에 대한 유일한 점성 해임을 입증하며, 고전적 해법과의 일致성과 안정성도 보장한다. 이는 후행 확률적 HJB 방정식에 응용 가능하다.

ABSTRACT

In this article, a notion of viscosity solutions is introduced for second order path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman (PHJB) equations associated with optimal control problems for path-dependent stochastic differential equations. We identify the value functional of optimal control problems as unique viscosity solution to the associated PHJB equations. We also show that our notion of viscosity solutions is consistent with the corresponding notion of classical solutions, and satisfies a stability property. Applications to backward stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations are also given.

연구 동기 및 목표

• 경로에 의존하는 SDE를 갖는 최적 제어 문제의 맥락에서 이차 경로에 의존하는 해밀턴-자코비-벨리만(PHJB) 방정식에 대한 점성 해법 이론을 개발하기 위해.
• 최적 제어 문제의 가치 기능이 해당 PHJB 방정식에 대한 유일한 점성 해임을 입증하기 위해.
• 적절한 조건 하에서 제안된 점성 해법 개념과 고전적 해법 간의 일致성을 입증하기 위해.
• 경로에 의존하는 자료의 변화에 대한 편미분에 대해 점성 해법 프레임워크의 안정성 특성을 입증하기 위해.
• 제안된 PHJB 프레임워크를 통해 후행 확률적 HJB 방정식으로 이론을 확장하기 위해.

제안 방법

• 기능적 Itô 미분법의 프레임워크를 활용하여 수평 및 수직 도함수를 활용한 이차 경로에 의존하는 HJB 방정식에 특화된 새로운 점성 해법의 개념을 도입한다.
• 경로에 의존하는 계수를 갖는 후행 확률적 미분 방정식(Backward SDE)의 해에 대한 가용 제어 위의 본질적 상한으로 가치 기능을 정의한다.
• Dupire의 기능적 Itô 공식을 적용하여 가치 기능의 동적 프로그래밍 원리를 도출한다.
• 적절한 시험 함수를 구성하고 시간 이동 과정을 포함한 변형 기법을 사용하여 점성 해법의 비교 원리를 확립한다.
• 경로에 의존하는 생성자와 상태 과정의 성격을 다루기 위해 정지 시간을 활용한 국소화 기법과 시간 정규화 절차를 사용한다.
• 동적 프로그래밍 원리와 기능적 Itô 공식에 기반한 확률적 표현 기법을 활용하여 가치 기능이 점성 하부해와 상부해 속성 모두를 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 경로에 의존하는 해밀턴-자코비-벨리만 방정식에 대해 일관된 점성 해법의 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 경로에 의존하는 SDE에 대한 최적 제어 문제의 가치 기능은 관련된 PHJB 방정식에 대한 유일한 점성 해인가?
• RQ3 제안된 점성 해법 개념은 고전적 해법이 존재할 경우 그것과 일치하는가?
• RQ4 경로에 의존하는 자료의 변화에 대해 점성 해법 프레임워크는 안정적인가?
• RQ5 이론은 후행 확률적 HJB 방정식을 포함하도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 최적 제어 문제의 가치 기능이 관련된 이차 경로에 의존하는 HJB 방정식에 대한 유일한 점성 해임을 입증하였다.
• 제안된 점성 해법 개념은 가치 기능이 충분히 매끄럽다면 고전적 해법과 일치함을 입증하였다.
• 경로에 의존하는 자료의 수렴이 $d_∞$ 거리에서 이루어질 경우 점성 해법 프레임워크는 안정성 특성을 만족한다.
• 점성 해법 프레임워크에서는 비교 원리가 성립하여 해의 유일성이 보장된다.
• 가치 기능은 점성 의미에서 동적 프로그래밍 원리를 만족하며, 이는 해가 기초가 되는 확률적 제어 문제와 연결됨을 시사한다.
• 이론은 후행 확률적 HJB 방정식으로 성공적으로 확장되었으며, 이는 프레임워크의 보다 광범위한 적용 가능성을 보여준다.