[논문 리뷰] Visualizing elements of Sha[3] in genus 2 jacobians

Nils Bruin, Sander R. Dahmen|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수체 위 타원곡선의 샤파레비치-타이트 군에 속한 순서 3 원소가 항상 종수 2 곡선의 아벨 다양체에서 가시화될 수 있음을 증명한다. 이는 삼차 이차형식과 위엘 쌍형에 호환되는 등주형을 이용한 명시적 곡선 구축을 통해 이루어지며, 주요 기여는 마조르의 원래 비아벨 다양체 가시화 방법의 한계를 해결하는 구조적 방법을 제공한다는 점이다.

ABSTRACT

Mazur proved that any element xi of order three in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve E over a number field k can be made visible in an abelian surface A in the sense that xi lies in the kernel of the natural homomorphism between the cohomology groups H^1(k,E) -> H^1(k,A). However, the abelian surface in Mazur's construction is almost never a jacobian of a genus 2 curve. In this paper we show that any element of order three in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve over a number field can be visualized in the jacobians of a genus 2 curve. Moreover, we describe how to get explicit models of the genus 2 curves involved.

연구 동기 및 목표

• 수체 위 타원곡선의 샤파레비치-타이트 군에 속한 모든 순서 3 원소가 종수 2 곡선의 아벨 다양체에서 가시화될 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• 그러한 가시화를 실현하는 종수 2 곡선의 명시적 모델을 구성함으로써, 마조르의 원래 구성에서 자주 아벨 다양체가 나오지 않는 한계를 극복하는 것.
• 삼차 이차형식, 위엘 쌍형, 등주형을 이용해 이러한 모델을 구체적으로 계산할 수 있는 알고리즘적 방법을 제공하는 것.
• 종수 2 곡선의 아벨 다양체가 되기 위해 3- torsion 부분군 간의 반등주형이 반드시 필요하고 충분함을 보이는 것.

제안 방법

• 타원곡선의 코homology에 속한 3- torsion 계열을 나타내기 위해 평면 타원곡선을 정의하는 삼차 이차형식을 사용한다.
• 위엘 쌍형에 호환되는 등주형을 통해 첫 번째 곡선의 3- torsion 부분군과 반등주형인 두 번째 타원곡선을 구성한다.
• 각각의 삼차 이차형식을 통해 두 타원곡선의 곱으로 ℙ²×ℙ² 상의 표면을 정의한다.
• 선형 조건 xu + yv + zw = 0 을 통해 이 표면 위에 딜로르 D 를 정의하며, 이는 3배 곱셈에 의해 종수 2 곡선 C 로 올라간다.
• 수체 위에서의 점 수 계산과 선형 대수를 이용해 ℙ²×ℙ² 상의 C 정의 방정식 계수를 구한다.
• 좌표 변화를 통해 모델을 표준 하이퍼엘리프틱 형태로 변환하여 C 의 명시적 하이퍼엘리프틱 방정식을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체 위 타원곡선의 샤파레비치-타이트 군에 속한 모든 순서 3 원소가 종수 2 곡선의 아벨 다양체에서 가시화될 수 있는가?
• RQ2 두 타원곡선의 3- torsion 부분군에 어떤 조건이 성립해야, 그 곱이 3배 곱셈에 의해 종수 2 곡선을 몫으로 가지는가?
• RQ3 어떻게 하면 종수 2 곡선의 명시적 모델을 알고리즘적으로 구성하여 이러한 가시화를 실현할 수 있는가?
• RQ4 단순한 등주형이 아니라 반등주형이 존재할 때에만 몫이 아벨 다양체가 되는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 수체 위 타원곡선의 샤파레비치-타이트 군에 속한 모든 순서 3 원소는 종수 2 곡선의 아벨 다양체에서 가시화된다.
• 이 구성은 위엘 쌍형에 호환되는 등주형을 통해 반등주형인 3- torsion 부분군을 가진 두 타원곡선의 쌍에 기반한다.
• Y² + (X+1)Y = 3X⁵ + 5X⁴ + X³ - 8X² - 5X + 2 와 같은 하이퍼엘리프틱 모델을 가진 명시적 종수 2 곡선이 구성되었다.
• 한 예에서 곡선 C 는 ℙ²×ℙ² 상에서 4xu - 155zu + xv + 2yv - 40xw + yw + 1314zw = 0 으로 정의되었다.
• Y² = (3X-1)(X+1)(4X³+4X²-9) 라는 모델을 가진 곡선의 아벨 다양체는 타원곡선 681c1 에서 온 Sha[3] 계열을 가시화한다.
• 표준적인 아벨 다양체 표면 구성(예: 등주형을 통한)이 아벨 다양체를 얻지 못하는 경우에도 이 방법은 성공적으로 Sha[3] 원소를 가시화한다.