[논문 리뷰] Volume form on moduli spaces of d-differentials

Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리만 곡면에서 임의의 순서를 가진 극과 영점이 고정된 $d$-형식의 모듈리 공간에 대해 캐논컬한 평행 체적 형식이 존재함을 증명하고, 이로부터 유도된 측도에 따라 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$의 총 체적이 유한함을 증명한다.

ABSTRACT

Given $d\in \mathbb{N}$, $g\in \mathbb{N} \cup\{0\}$, and an integral vector $\kappa=(k_1,\dots,k_n)$ such that $k_i>-d$ and $k_1+\dots+k_n=d(2g-2)$, let $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ denote the moduli space of meromorphic $d$-differentials on Riemann surfaces of genus $g$ whose zeros and poles have orders prescribed by $\kappa$. We show that $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ carries a canonical volume form that is parallel with respect to its affine complex manifold structure, and that the total volume of $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)=\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}/\mathbb{C}^*$ with respect to the measure induced by this volume form is finite.

연구 동기 및 목표

• 고정된 순서 유형을 가진 메로모르픽 $d$-형식의 모듈리 공간 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$에 대해 캐논컬한 체적 형식을 구성하는 것.
• 이 체적 형식이 모듈리 공간의 아핀 복소다양체 구조에 대해 평행함을 확립하는 것.
• 이 체적 형식에 의해 유도된 측도 하에 프로젝티브 모듈리 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$의 총 체적을 조사하는 것.
• 이 총 체적이 유한한지 여부를 밝혀내어 $d$-형식 이론에서 핵심적인 기하학적 및 역학적 질문에 답하는 것.

제안 방법

• d-형식의 국소 좌표에서 유도되는 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$에 내재된 아핀 복소다양체 구조를 활용한다.
• 아핀 다양체의 평탄한 구조를 이용하여, 힐로노미 변환에 대해 불변성을 보장하는 캐논컬한 체적 형식을 구성한다.
• 역행 이론과 그 일반화인 $d$-형식에 대해 자연스러운 체적 요소를 정의하기 위해 이동 표면 이론을 적용한다.
• $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 위의 $\mathbb{C}^*$-작용을 활용하여 체적 형식을 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$로 내림린다.
• 모듈리 공간의 오비폴드 커버 위에서 적분 기법을 적용하여 프로젝티브 공간의 총 체적을 계산한다.
• $\sum k_i = d(2g-2)$ 및 $k_i > -d$ 조건을 이용하여 이러한 형식의 존재와 잘 정의된 컴actsification 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$는 그 아핀 구조에 대해 평행한 캐논컬한 체적 형식을 갖는가?
• RQ2 이 체적 형식에 의해 유도된 측도 하에 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$의 총 체적이 얼마인가?
• RQ3 이 총 체적이 캐논컬한 측도 하에 유한한가?
• RQ4 모듈리 공간의 $\mathbb{C}^*$-작용 하에서 캐논컬한 체적 형식은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 모듈리 공간의 평탄한 기하학과 컴팩트화 성질을 이용하여 체적의 유한성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$는 그 아핀 복소다양체 구조에 대해 평행한 캐논컬한 체적 형식을 지닌다.
• 이 체적 형식은 아핀 구조에 의해 유도된 평탄한 접속의 힐로노미에 대해 불변하다.
• 체적 형식이 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$에서 유도된 측도 하에 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$의 총 체적이 유한하다.
• 조건 $k_i > -d$ 및 $\sum k_i = d(2g-2)$ 하에서 총 체적의 유한성이 유지되며, 이는 주어진 순서 유형을 가진 메로모르픽 $d$-형식의 존재를 보장한다.
• 캐논컬한 체적 형식은 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$에 잘 정의된 측도로 강하하여 총 체적의 유한성을 정의할 수 있다.
• 이 결과는 $d=1$일 때의 체적 유한성(아벨형식)을 고차 $d$-형식으로 일반화하며, 테이히뮐러 역학 이론에서 알려진 결과를 확장한다.