[논문 리뷰] Volume growth, Comparison theorem and Escape Rate of Diffusion Process

Shun-Xiang Ouyang|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 체적 성장과 비교 정리 이론을 이용하여 확산 과정의 상한 속도 함수를 수립한다. 이는 히우와 쿤의 브라운 운동에 대한 결과를 일반적인 대칭적이고 강한 국소적 딜레르트 형식으로 확장하며, 리만 다양체 위의 확산의 탈출 속도를 비선형성과 확산 계수를 갖는 1차원 Itô 확산과 연결하는 비교 정리를 증명함으로써, 체적 성장과 에너지 밀도를 바탕으로 상한을 도출한다.

ABSTRACT

We study the escape rate of diffusion process with two approaches. We first give an upper rate function for the diffusion process associated with a symmetric, strongly local regular Dirichlet form. The upper rate function is in terms of the volume growth of the underlying state space. The method is due to Hsu and Qin [Ann. Probab., 38(4), 2010] where an upper rate function was given for Brownian motion on Riemannian manifold. In the second part, we prove a comparison theorem and give an upper rate function for diffusion process on Riemannian manifold in terms of the upper rate function for the solution process of a one dimensional stochastic differential equation.

연구 동기 및 목표

• 리만 다항체 위의 브라운 운동에 대한 히우와 쿤의 상한 속도 함수를 대칭적이고 강한 국소적 딜레르트 형식의 프레임워크로 일반화하기.
• 상태 공간의 체적 성장과 반경 함수의 에너지 밀도를 바탕으로 확산 과정의 탈출 속도를 특성화하기.
• 리만 다항체 위의 확산 과정에 대해, 이를 비선형성과 확산 계수를 갖는 1차원 Itô 확산과 연결하는 비교 정리 수립하기.
• 비선형성과 확산 조건 하에서 1차원 SDE의 해를 이용해 반경 과정에 대한 명시적 상한 속도 함수 유도하기.
• 과정의 보존성을 보장하는 시간 함수에 의해 탈출 속도가 유계임을 보장하는 충분조건 제공하기.

제안 방법

• 측도 거리 공간 위의 확산 과정을 모델링하기 위해 대칭적이고 정규적이며 강한 국소적 딜레르트 형식의 사용.
• 측도 구의 체적 성장과 반경 함수 $\rho$의 에너지 밀도 $\Gamma(\rho,\rho)$에 기반한 상한 속도 함수 유도.
• 반경 과정이 리만 다항체 위의 확산과 관련된 1차원 Itô 확산과 비교 가능하도록 비교 정리 적용.
• Itô의 공식을 사용하여 반경 과정을 비선형성과 확산 계수를 갖는 시간 변화된 확산으로 변환.
• 변환된 과정에 대해 $ (b_0 + \varepsilon)t $가 상한 속도 함수가 되도록 보장하는 비선형성 $b(x)$와 확산 $\sigma(x)$에 대한 충분조건 설정.
• 반복 로그 법칙과 경로 기반 추정을 적용하여 확산 과정의 성장 제어하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 공간의 체적 성장으로 어떤 조건에서 대칭적이고 강한 국소적 딜레르트 형식에 관련된 확산 과정의 탈출 속도를 유계로 제한할 수 있는가?
• RQ2 1차원 Itô 과정의 비선형성과 확산 계수에 어떤 조건이 성립하면 $ (b_0 + \varepsilon)t $가 상한 속도 함수가 되는가?
• RQ3 리만 다항체의 기하적 조건이 어떤 조건일 경우 확산의 반경 과정이 스케일링된 비선형성과 확산 계수를 갖는 브라운 운동과 비교 가능해지는가?
• RQ4 딜레르트 형식 프레임워크에서 에너지 밀도 $\Gamma(\rho,\rho)$가 상한 속도 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비선형성 조건 $ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $ 하에서 1차원 SDE의 해를 통해 다항체 위의 확산 탈출 속도를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 대칭적이고 강한 국소적 딜레르트 형식에 대해, 체적 성장과 에너지 밀도 $ \Gamma(\rho, \rho) $에 기반한 상한 속도 함수가 도출되었으며, 이는 위상적 조건 하에서 최적이다.
• $ \Gamma(\rho, \rho) \leq 1 $일 경우, 상한 속도 함수는 측도 구의 체적 성장에만 의존한다.
• 비교 정리 수립: $ L\rho_o \leq \theta(\rho_o) $이면, 확산의 반경 과정은 비선형성 $ \theta $를 갖는 1차원 SDE의 해에 의해 확률적으로 지배된다.
• 비선형성 $ b(x) \leq b_0 $이고 확산 $ \sigma(x) \leq C_\sigma(1 + x^\alpha) $인 1차원 Itô 과정 $ z_t $에 대해 $ \alpha < 1 $일 경우 $ (b_0 + \varepsilon)t $는 상한 속도 함수이다.
• 비선형성 조건 $ b(x) \leq \tilde{b}(x) $이면서 $ \int^\infty \frac{1}{\tilde{b}(s)} ds = \infty $일 경우, 상한 속도 함수는 $ g((C + \varepsilon)t) $이며, 여기서 $ C = 1 + C_2/2 $이고 $ g $는 $ 1/\tilde{b} $의 적분의 역함수이다.
• 다음과 같은 1차원 확산 과정 $ x_t $에 대해 $ dx_t = \theta(x_t) dt + \sqrt{2} dW_t $이며 $ \theta(x) \leq \theta_\alpha x^\alpha $이면, 상한 속도 함수는 $ g_\alpha(C_\alpha t) $이며, 여기서 $ g_\alpha $는 $ t = \int_0^{g_\alpha(t)} \frac{1}{\theta_\alpha x^\alpha} dx $를 만족한다.