[논문 리뷰] Volume growth, curvature decay, and critical metrics

Jeff Viaclovsky, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|2006. 12. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 곡률 감쇠를 갖는 리만 다양체에 대한 향상된 체적 성장 추정과 정규성 정리들을 수립하며, 이전에 요구되던 첫 번째 베티 수나 전역 소볼레프 상수에 대한 가정을 제거하고, 대신 하한 체적 성장 조건을 요구함으로써 이를 달성한다. 핵심 기여는 소볼레프 상수 대신 체적 하한에 의존하는 새로운 국소 $\epsilon$-정규성 정리로서, 더 약한 기하적 조건 하에서도 더 강력한 컴팩트성과 ALE 구조 결과를 이끌어내는 데 성공한다.

ABSTRACT

We make some improvements to our previous results. First, we prove a version of our volume growth theorem which does not require any assumption on the first Betti number. Second, we show that our local regularity theorem only requires a lower volume growth assumption, not a full Sobolev constant bound. These results allow us to weaken the assumptions of our previous volume growth and convergence theorems.

연구 동기 및 목표

• 비상수 비음성 곡률을 갖는 다양체에 대한 체적 성장 정리에서 유한한 첫 번째 베티 수 가정이 필요 없도록 하는 것.
• 국소 정규성 정리에서 전역 소볼레프 상수 유계성 조건을 하한 체적 성장 조건으로 대체하는 것.
• 더 약한 기하적 가정 하에서도 임계 계량에 대해 컴팩트성 및 ALE 구조 결과를 확장하는 것.
• 4차원에서 임계 계량의 정규성 및 제거 가능한 특이점 이론을 강화하는 것.
• 특히 기하적 컴팩트성 정리에서 지오데식 링 또는 구의 연결성과 제거 가능한 특이점의 역할에 관해 이전 증명의 격차를 보완하고 수정하는 것.

제안 방법

• L^{n/2}에서의 음의 리치 곡률 하한과 공역에서의 체적 하한 조건을 이용하여 새로운 체적 성장 정리(정리 1.1)를 증명한다.
• 소볼레프 상수 가정 대신 하한 체적 성장 조건을 요구하는 국소 $\epsilon$-정규성 정리(정리 1.2)를 수립한다.
• 새로운 정규성 및 체적 성장 결과를 $\Delta \mathrm{Ric} = \mathrm{Rm} \ast \mathrm{Ric}$를 만족하는 임계 계량에 적용한다. 이는 백-플랫 및 자기 dual 계량을 포함하는 계량의 클래스이다.
• 4차원에서 가우스-보네 및 히르체브루흐 시그니처 정리를 활용하여 위상수학적 제약과 스칼라 곡률 제약 하에서 $\|Rm\|_{L^2}$를 유계로 bound한다.
• 임계 계량에 대한 제거 가능한 특이점 정리를 활용하여 결과를 오비폴드 설정과 ALE 끝으로 확장한다.
• 이전 증명에서의 격차, 특히 컴팩트성 정리의 맥락에서 지오데식 구 또는 링의 연결성과 제거 가능한 특이점의 역할에 관해 재검토하고 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡률 감쇠 $|Rm| = o(r^{-2})$를 갖는 다양체에 대해, 첫 번째 베티 수가 유한하다는 가정 없이도 체적 성장 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ2 전역 소볼레프 상수 유계성 조건 대신 하한 체적 성장 조건을 요구할 경우, 임계 계량에 대한 $\epsilon$-정규성 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ3 완전 비콤팩트 4차원 다양체에 임계 계량과 유한한 $L^2$-노름을 갖는 곡률을 가질 때, 어떤 기하적 조건 하에서 유한한 ALE 끝을 갖는가?
• RQ4 소볼레프 상수 유계성 조건이나 베티 수 조건 없이도 임계 계량 수열에 대한 컴팩트성 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 유한한 $L^2$-노름을 갖는 $C^0$-오비폴드 계량이 고립된 특이점에서 매끄럽게 연장되는 데 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 1.1은 $C_S < \infty$, $|Rm| = o(r^{-2})$, 그리고 $\int_M |Ric_-|^{n/2} dV < \Lambda$ 조건을 만족하는 완전 비콤팩트 $n$-다양체가 유한한 끝을 가지며, $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq C_2 r^n$을 만족함을 보여준다.
• 정리 1.2는 소볼레프 상수 가정 대신 하한 체적 성장 조건을 사용하는 임계 계량에 대한 국소 $\epsilon$-정규성 결과를 증명한다: 모든 $q \in B(p,r/2)$ 및 $s \leq r/2$에 대해 $\mathrm{Vol}(B(q,s)) \geq V_0 s^4$이면, $\sup_{B(p,r/2)} |\nabla^k Rm| \leq C_k r^{-2-k} \|Rm\|_{L^2(B(p,r))}$가 성립한다.
• 정리 1.3은 $\|Rm\|_{L^2} \leq \Lambda$를 만족하는 임계 계량의 (a), (b), 또는 (c) 클래스에 대해, 하한 체적 성장 조건과 베티 수 유계성 조건이 $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_1 r^4$를 유도함을 보여준다.
• 정리 1.3의 대체 버전은 베티 수 유계성 조건을 지역 소볼레프 상수 $C_S(r) < C_1$의 균일한 유계성 조건으로 대체하여 $\mathrm{Vol}(B(p,r)) \leq V_2 r^4$를 유도한다.
• 정리 1.4는 동일한 하한 체적 성장 또는 소볼레프 상수 가정 하에서 단위 체적을 갖는 임계 계량 수열의 컴팩트성을 확립하며, 베티 수나 전역 소볼레프 제어 조건이 필요 없음을 보여준다.
• 정리 5.1은 이전 결과를 향상시켜, 하한 체적 성장과 유한한 베티 수(또는 유한한 $C_S$) 조건 하에서, $\|Rm\|_{L^2} < \infty$를 만족하는 완전 4차원 다양체가 유한한 끝을 가지며, 각 끝이 순서 $\tau < 2$의 ALE임을 보여준다.