[논문 리뷰] Volume of representation varieties

Motohico Mulase, Michael Penkava|ArXiv.org|2002. 12. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 41인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한형상군의 표현 다양체에 대한 체적 불변량을 도입하며, 이를 군 표현으로부터의 전달 측도를 통해 정의한다. 이 체적이 앤드류스-커티스 이동에 대해 불변임을 증명하고, 생성자 수와 관계식 수의 차이가 고정되어 있을 경우 특정 표현에 관계없이 불변임을 보인다. 주요 결과로는 표면군에 대해 기저 표현을 사용하여 체적을 계산하고, 단순형 리 군의 경우 위튼과 리우의 결과를 상수 인자까지 복원한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of volume of the representation variety of a finitely presented discrete group in a compact Lie group using the push-forward measure associated to a map defined by a presentation of the discrete group. We show that the volume thus defined is invariant under the Andrews-Curtis moves of the generators and relators of the discrete group, and moreover, that it is actually independent of the choice of presentation if the difference of the number of generators and the number of relators remains the same. We then calculate the volume of the representation variety of a surface group in an arbitrary compact Lie group using the classical technique of Frobenius and Schur on finite groups. Our formulas recover the results of Witten and Liu on the symplectic volume and the Reidemeister torsion of the moduli space of flat G-connections on a surface up to a constant factor when the Lie group G is semisimple.

연구 동기 및 목표

• 유한형상군의 표현 다양체에 대한 체적 불변량을 콤팩트 리 군 내에서 정의한다.
• 이 체적이 군 표현의 앤드류스-커티스 이동에 대해 불변임을 확립한다.
• 체적이 생성자 수와 관계식 수의 차이에만 의존하며, 특정 표현에 따라 달라지지 않음을 보인다.
• 표면군의 표현 다양체 체적을 프로베니우스-슈어 기법과 기저 표현을 사용하여 계산한다.
• 단순형 리 군의 경우 체적이 심플렉틱 체적과 라이드마이어 토르션과 어떻게 연결되는지 밝히며, 기존 결과를 상수 인자까지 복원한다.

제안 방법

• 생성자 수 $k$와 관계식 수 $r$에 따라 군 $G^k$에서 $G^r$으로의 표현 사상에 의해 유도되는 전달 측도를 사용하여, 표현 다양체 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$의 체적을 관계식 사상에 의한 항등원의 역상으로 정의한다.
• 특히 페터-웨일 정리와 특성 이론을 포함한 콤팩트 리 군의 조화 해석학 및 표현 이론 기법을 적용한다.
• 비가역 표면에 필수적인 실수, 복소수, 허수 유형의 기저 표현을 분류하기 위해 프로베니우스-슈어 지표를 활용한다.
• 기저 표현 $\lambda \in \hat{G}$에 대한 합으로서의 명시적 체적 공식을 유도하며, 여기서 $\chi(S)$는 오일러 지표이다.
• 표면의 세포 분할과 그래픽적 전개(费인만 다이어그램)를 사용하여 체적을 군 다양체 위의 적분과 연결한다.
• 유한군의 경우 공식이 프로베니우스-슈어와 메드니히의 고전적 결과로 축소되며, 이를 극한 또는 딱성 원리에 의해 콤팩트 리 군으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 다양체 $\mathrm{Hom}(\Pi, G)$의 체적이 앤드류스-커티스 이동과 같은 군 표현의 변화에 대해 불변인가?
• RQ2 체적이 생성자 수와 관계식 수의 차이 $k - r$에만 의존하며, 특정 표현에 관계없이 동일한가?
• RQ3 표면군의 표현 다양체 체적은 군 $G$의 기저 표현으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 표면군의 체적 공식은 심플렉틱 체적과 라이드마이어 토르션과 같은 알려진 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 費인만 다이어그램 전개를 통해 무한차원 군 대수에 대해 체적을 일관되게 정의할 수 있는가?

주요 결과

• 표현 다양체의 체적이 앤드류스-커티스 이동에 대해 불변이므로, 동일한 군에 대한 다양한 표현에 대해 일관성이 보장된다.
• 체적이 생성자 수와 관계식 수의 차이 $k - r$에만 의존하며, 특정 표현에 따라 달라지지 않는다.
• 오일러 지표 $\chi(S) = 2 - 2g$인 옹호성 표면의 경우, 체적은 $ |G|^{\chi(S)-1} \sum_{\lambda \in \hat{G}} (\dim \lambda)^{\chi(S)} $로 주어진다.
• 비가역 표면의 경우, 체적은 $ |G|^{\chi(S)-1} \left( \sum_{\lambda \in \hat{G}_1} (\dim \lambda)^{\chi(S)} + \sum_{\lambda \in \hat{G}_4} (-\dim \lambda)^{\chi(S)} \right) $로 주어지며, 수렴 조건이 필요하다.
• 이 공식들은 단순형 콤팩트 리 군의 경우 위튼과 리우의 심플렉틱 체적 및 라이드마이어 토르션 결과를 상수 인자까지 복원한다.
• 전달 측도를 통한 체적 정의는 표현에 의존하지 않는 일관된 불변량을 제공하며, 이는 고전적 유한군 공식을 콤팩트 리 군으로 일반화한다.