[논문 리뷰] Volume preserving subgroups of A and K and singularities in unimodular geometry

Wojciech Domitrz, J. H. Rieger|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단조형 기하학에서 Mather의 A 및 K 군의 체적 보존 부분군을 조사하며, 이러한 부분군에 대한 사상-균위의 무한소 모듈리 공간에 대해 명시적인 동형사상을 도출한다. 복소수 위에서 A_Ωₚ-안정적인 사상은 자명한 모듈리 공간을 가지며, K_Ωₙ-단순 특이점은 그 분류를 유지하지만, A_Ωₙ-안정적인 사상은 무한차원 모듈리 공간을 가질 수 있으며, 체적 보존 설정에서 새로운 함수형 모듈리가 드러난다.

ABSTRACT

For a germ of a smooth map f and a subgroup G_V of any of the Mather groups G for which the source or target diffeomorphisms preserve some given volume form V in the source or in the target we study the G_V-moduli space of f that parameterizes the G_V-orbits inside the G-orbit of f. We find, for example, that this moduli space vanishes for A-equivalence with volume-preserving target diffeomorphisms and A-stable maps f and for K-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms and K-simple maps f. On the other hand, there are A-stable maps f with infinite-dimensional moduli space for A-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 체적 보존 A 및 K 군의 부분군에 대한 사상-균위의 모듈리 공간을 분석하기 위해.
• 특히 안정적이고 단순한 사상에 대해 이러한 모듈리 공간이 언제 0이 되거나 무한차원이 되는지 결정하기 위해.
• 벡터장의 발산을 통해 무한소 모듈리 공간에 대한 일반적인 동형사상을 수립하기 위해.
• 특히 기능적 모듈리가 존재할 경우에 체적 형식의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 무한소 모듈리 공간과 $ C_r / \mathrm{div}(LG_f^q) $ 사이의 동형사상을 유도하며, 대부분의 군들에 대해 $ r = q $ 이고 $ \mathcal{K}_{\Omega_p} $ 에서는 $ r = n $ 이다.
• 벡터장의 발산 사상 $ \mathrm{div}: \mathcal{M}_q \cdot \theta_q \to C_r $ 을 사용하여 안정자에 속하는 벡터장과 모듈리 공간을 연결한다.
• 코homological 기법을 적용하여 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $ 에 대해 모듈리 공간이 $ f $ 의 성분들로 생성된 이상과 관련된 de Rham 부분복합체의 $ n $ 번째 코homology 와 동형임을 보여준다.
• $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $ 에 대해 모듈리 공간은 $ C_r / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^p) $ 와 동형이며, $ L\mathcal{A}_f^p = \mathrm{Lift}(f) $ 라면 성립한다. 이는 판별식 또는 이미지 관련 조건에서 성립한다.
• 특정 예제들, 예를 들어 접선 사상 $ f = (x, y^2) $ 에 이론을 적용하여 모듈리 차원을 계산하고 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $ 에서의 무한 모달리티를 보여준다.
• $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 와 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ 군을 사용하여, 단순 특이점인 콘택스 $ (x^2, x^3) $ 에 대해서도 비자명한 모듈리가 존재함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적 보존 A 및 K 군의 부분군인 $ G_{\Omega_q} $ 에 대해 사상-균위의 $ G_{\Omega_q} $-모듈리 공간이 어떤 조건에서 0이 되는가?
• RQ2 $ \mathbb{C} $ 위에서 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-안정적인 사상은 기능적 모듈리 없이 분류될 수 있는가? 이는 표준적인 $ \mathcal{A} $-분류와 일치하는가?
• RQ3 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-단순 완전교차 특이점의 모듈리 공간의 구조는 어떻게 되며, 이는 $ \mathcal{K} $-분류와 일치하는가?
• RQ4 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-안정적인 사상은 항상 무한차원 모듈리 공간을 가지는가? 이는 안정자 내의 벡터장의 발산을 통해 감지될 수 있는가?
• RQ5 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ 및 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 와 같은 체적 보존 부분군은 모달리티에 어떻게 영향을 주며, 단순 특이점에 대해서도 비자명한 모듈리를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• $ \mathbb{C} $ 위에서 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-안정적인 사상에 대해 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-모듈리 공간은 자명하므로, 기능적 모듈리가 발생하지 않으며, 이는 표준적인 $ \mathcal{A} $-분류와 일치한다.
• $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-단순 완전교차 특이점에 대해 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-모듈리 공간은 자명하므로, 분류가 표준적인 $ \mathcal{K} $-분류와 일치한다.
• 접선 사상 $ f = (x, y^2) $ 는 $ \dim C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^n) $ 가 무한하므로 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-모듈리 공간이 무한차원이다.
• 평면 콘택스 $ f = (x^2, x^3) $ 에 대해 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $-모달리는 2이다. 왜냐하면 $ C_p / \mathrm{div}(L\mathcal{L}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y_1\} $ 이므로 두 개의 독립된 모듈리가 존재하기 때문이다.
• $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 에서 접선 사상 $ f = (x, y^2) $ 에 대해 모듈리 공간은 $ C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{C}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y\} $ 를 만족하므로, 두 개의 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $-모듈리가 존재한다.
• $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-모듈리 공간은 이상 $ \langle f_1, \dots, f_p \rangle $ 와 관련된 de Rham 부분복합체의 $ n $ 번째 코homology 와 동형이며, 이는 모듈리의 코homological 해석을 제공한다.