[논문 리뷰] Volume product of planar polar convex bodies --- lower estimates with stability

Károly J. Böröczky, Endre Makai외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 06.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 평면에서의 볼륨 곱 |K|·|K*|에 대해 날카러운 하한을 확립하며, Banach-Mazur 거리에 따른 안정성 추정을 제공한다. o-대칭인 경우 볼륨 곱은 최소 8이며, 등호는 평행사변형일 때 성립한다. 원점에 중심이 있는 삼각형의 경우 최소 27/4이며, n중 대칭인 경우 최소 n²sin²(π/n)이며, 등호는 정n각형일 때 성립한다. 안정성 결과는, 체적이 극값 형태에 가까울 경우 볼륨 곱이 하한에서 상수 인자 정도만 떨어져 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Let $K \subset {\mathbb R}^2$ be an $o$-symmetric convex body, and $K^*$ its polar body. Then we have $|K|\cdot |K^*| \ge 8$, with equality if and only if $K$ is a parallelogram. ($| \cdot |$ denotes volume). If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, with $o \in { ext{int}}\,K$, then $|K|\cdot |K^*| \ge 27/4$, with equality if and only if $K$ is a triangle and $o$ is its centroid. If $K \subset {\mathbb R}^2$ is a convex body, then we have $|K| \cdot |[(K-K)/2)]^* | \ge 6$, with equality if and only if $K$ is a triangle. These theorems are due to Mahler and Reisner, Mahler and Meyer, and to Eggleston, respectively. We show an analogous theorem: if $K$ has $n$-fold rotational symmetry about $o$, then $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$, with equality if and only if $K$ is a regular $n$-gon of centre $o$. We will also give stability variants of these four inequalities, both for the body, and for the centre of polarity. For this we use the Banach-Mazur distance (from parallelograms, or triangles), or its analogue with similar copies rather than affine transforms (from regular $n$-gons), respectively. The stability variants are sharp, up to constant factors. We extend the inequality $|K|\cdot |K^*| \ge n^2 \sin ^2 ( π/n)$ to bodies with $o \in { ext{int}}\,K$, which contain, and are contained in, two regular $n$-gons, the vertices of the contained $n$-gon being incident to the sides of the containing $n$-gon. Our key lemma is a stability estimate for the area product of two sectors of convex bodies polar to each other. To several of our statements we give several proofs; in particular, we give a new proof for the theorem of Mahler-Reisner.

연구 동기 및 목표

• 다양한 대칭성 및 중심 조건 하에서 평면 볼록체의 볼륨 곱 |K|·|K*|에 대해 날카러운 하한을 확립하는 것.
• 볼륨 곱 문제에서 알려진 극값 부등식에 대한 안정성 추정을 제공하여, 체적이 극값 형태(예: 평행사변형, 삼각형, 정n각형)에 얼마나 가까워야 볼륨 곱이 최소값에 거의 도달하는지 정량화하는 것.
• 정n각형 두 개 사이에 끼워진 체적에 대해 볼륨 곱 부등식을 확장하는 것.
• 기하학적 및 해석적 기법을 사용하여 새로운 증명을 제공하는 것, 특히 Mahler–Reisner 부등식에 대한 새로운 증명을 포함한다.

제안 방법

• 체적이 극값 형태(평행사변형, 삼각형, 정n각형)에 얼마나 가까운지 측정하기 위해 Banach-Mazur 거리를 사용하여 안정성 추정을 가능하게 한다.
• Santaló 점과 쌍대성 이론을 적용하여 문제를 대칭적이거나 정규화된 형태로 단순화한다.
• 볼록체의 두 극좌표 부채꼴의 면적 곱에 대한 핵심 안정성 보조정리를 활용한다.
• 측면 직선을 평행 이동하여 비교 삼각형 또는 정n각형을 구성함으로써 내재된 볼록체들을 구축한다.
• 예를 들어 f_t = (g + h)/2와 같은 매개변수화된 볼록체 가중치의 볼록성 및 선형성 원리를 활용하여 볼륨 곱의 최소성을 증명한다.
• [57] 및 [64]의 기법을 응용하여 새로운 증명을 도출하며, 특히 Mahler–Reisner 부등식에 대한 새로운 증명을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 R² 내의 o-대칭 볼록체 K에 대해 볼륨 곱 |K|·|K*|의 날카러운 하한은 무엇이며, 등호는 언제 성립하는가?
• RQ2 체적이 원점 중심으로 n중 회전 대칭을 가질 경우 볼륨 곱은 어떻게 행동하며, 극값 경우는 무엇인가?
• RQ3 볼륨 곱 부등식에 대해 안정성 추정을 확립할 수 있는가? 즉, 체적이 극값 형태(예: 평행사변형, 삼각형)에 얼마나 가까워야 볼륨 곱이 최소값에 거의 도달하는가를 정량화할 수 있는가?
• RQ4 정n각형과 동형인 볼록체 K가 정n각형에 내접하고 외접하며, 내부 정n각형의 정점이 외부 정n각형의 변에 접촉할 경우 볼륨 곱의 하한은 무엇인가?
• RQ5 기하학적 및 해석적 기법을 사용하여 Mahler–Reisner 부등식에 대해 새로운 증명을 제시할 수 있는가?

주요 결과

• R² 내의 임의의 o-대칭 볼록체 K에 대해 |K|·|K*| ≥ 8이며, 등호는 K가 평행사변형일 때에만 성립한다.
• 내부에 원점이 있고 원점이 중심일 경우 |K|·|K*| ≥ 27/4이며, 등호는 K가 삼각형일 때에만 성립한다.
• K가 원점 중심으로 n중 회전 대칭을 가질 경우 |K|·|K*| ≥ n²sin²(π/n)이며, 등호는 K가 정n각형일 때에만 성립한다.
• 안정성 추정이 확립되었다: K가 평행사변형(또는 삼각형)과 Banach-Mazur 거리가 작을 경우, 볼륨 곱은 최소값에서 상수 인자 정도만 떨어져 있다.
• 두 정n각형 사이에 끼워진 볼록체 K에 대해 |K|·|[(K−K)/2]*| ≥ 6이며, 등호는 K가 삼각형일 때에만 성립한다.
• 매개변수화된 볼록체 가중치와 볼륨 곱의 역수의 볼록성 원리를 활용하여 Mahler–Reisner 부등식에 대해 새로운 증명을 제시한다.