[논문 리뷰] Volumes of Nonnegative Polynomials, Sums of Squares and Powers of Linear Forms

Grigoriy Blekherman|ArXiv.org|2004. 02. 10.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 차수 $2k > 2$ 에서 $n$ 개의 변수를 가진 비음성 동차 다항식의 원추, 제곱합의 원추, 선형형식의 $2k$-제곱합의 원추 간의 점 渐近 체적 비율을 정량화한다. 단위 구면 위에서의 적분을 통한 $L^2$-노름으로 정규화된 단면을 사용하여, $n \to \infty$ 일 때 체적 비율이 각각 $n^{-1/2}$, $n^{-k/2}$, $n^{-k+1/2}$ 의 비율로 체적 비율이 감소함을 보이며, 이는 $n$ 이 증가함에 따라 크기의 극명한 격차가 커짐을 시사한다. 이는 비음성 다항식이 제곱합보다 매우 많고, 제곱합이 선형형식의 $2k$-제곱합보다 매우 많다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We study the quantitative relationship between the cones of nonnegative polynomials, cones of sums of squares and cones of sums of powers of linear forms. We derive bounds on the volumes (raised to the power reciprocal to the ambient dimension) of compact sections of the three cones. We show that the bounds are asymptotically exact if the degree is fixed and number of variables tends to infinity. When the degree is larger than two it follows that there are significantly more non-negative polynomials than sums of squares and there are significantly more sums of squares than sums of powers of linear forms. Moreover, we quantify the exact discrepancy between the cones; from our bounds it follows that the discrepancy grows as the number of variables increases.

연구 동기 및 목표

• 동차 다항식 공간 내에 포함된 세 개의 포함 관계를 가진 볼록 원추인 비음성 다항식, 제곱합, 선형형식의 $2k$-제곱합의 상대적 크기를 정량화하기 위해.
• 고정된 차수 $2k > 2$ 에서 변수 수 $n$ 에 따른 이러한 원추들의 체적 크기의 점 渐近 체적 의존도를 이해하기 위해.
• 자연스러운 $L^2$-노름으로 정규화된 초평면 단면을 통해 이러한 원추의 컴act 섹션에 대해 날카로운 체적 상한과 하한을 확립하기 위해.
• 원추들 사이의 격차가 $n$ 에 따라 크게 증가함을 보여주며, 이는 비음성 검증을 제곱합 검증으로 효율적으로 대체할 수 없다는 것을 의미한다.

제안 방법

• 비음성 다항식 원추, 제곱합 원추, 선형형식의 $2k$-제곱합 원추를 각각 단위 구면 $S^{n-1}$ 상에서 적분이 1인 형식들의 약현 평면과 교차시켜 컴act 볼록체 $\widetilde{C}$, $\widetilde{Sq}$, $\widetilde{Lf}$ 를 정의하고, 이를 적분이 0인 선형 평면 $M_{n,2k}$ 로 이동시킴.
• 다항식 공간 $P_{n,2k}$ 상의 유클리드 메트릭으로서 $L^2$ 내적 $\langle f,g \rangle = \int_{S^{n-1}} fg \, d\sigma$ 를 사용하고, 단위 구구 $B_M$ 에 대한 체적을 정규화함.
• 블라슈케-산타로 부등식을 적용하여 볼록체의 체적과 그 평행체의 체적 간 관계를 설정함으로써 체적 비율 추정을 가능하게 함.
• 쌍대성 원리를 활용: 선형형식의 $2k$-제곱합 원추는 미분 메트릭 상에서 비음성 다항식 원추의 이중원추이며, 이 관계를 적분 메트릭과 연결하기 위해 항등식 $\langle f, v^{2k} \rangle_D = (2k)! f(v)$ 를 사용함.
• 제곱합 원추의 $L^2$-노름에 대한 항등원 연산자의 노름과 그 이중원추에 대한 알려진 경계를 활용하여 체적 상한 및 하한을 유도함.
• 레마 6.2 를 적용하여 미분 메트릭 상의 이중원추 체적과 적분 메트릭 상의 체적 간 관계를 설정함. 이때 $r^{2k}$ 가 세 원추 모두 내부에 있음을 이용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 차수 $2k > 2$ 에서 변수 수 $n$ 이 증가함에 따라 비음성 다항식 원추, 제곱합 원추, 선형형식의 $2k$-제곱합 원추의 상대적 체적은 어떻게 체적 비율이 변화하는가?
• RQ2 원추들 간의 체적 비율이 $n \to \infty$ 일 때 점 渐近적으로 날카로운가? 만약 그렇다면 그 주요 체적 순서는 무엇인가?
• RQ3 특히 비음성 다항식 원추와 제곱합 원추 사이의 격차는 어떻게 정량화할 수 있으며, 이는 비음성 검증을 제곱합 검증으로 대체하는 데 있어서 계산적으로 비현실적인지를 반영할 수 있는가?
• RQ4 메트릭 선택(예: 구면 상의 $L^2$)이 이러한 원추의 자연스럽고 회전 대칭적인 단면을 정의함으로써 체적 비교에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 체적 비율은 차수 $2k$ 에 따라 어떻게 의존하며, $k$ 를 고정하고 $n$ 이 증가할 경우 어떤 일이 일어나는가?

주요 결과

• 비음성 다항식 원추의 단면 체적에 대한 정규화된 체적은 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{C}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-1/2}$ 를 만족하며, 상수는 오직 $k$ 에만 의존함.
• 제곱합 원추의 단면 체적에 대한 정규화된 체적은 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{Sq}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k/2}$ 를 만족하며, $k > 1$ 일 때 비음성 다항식보다 훨씬 더 빠른 감소를 보임.
• 선형형식의 $2k$-제곱합 원추의 단면 체적에 대한 정규화된 체적은 $\big(\text{Vol}\,\widetilde{Lf}/\text{Vol}\,B_M\big)^{1/D_M} \asymp n^{-k+1/2}$ 를 만족하며, $k > 1$ 일 때 제곱합보다 느린 감소를 보이나 비음성 다항식보다는 빠름.
• 고정된 $k$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 경계가 점 渐近적으로 날카로워지며, 체적 감소의 주요 순서가 정확히 날카로운 것으로 밝혀짐.
• 원추들 사이의 격차는 $n$ 이 증가함에 따라 크게 증가하며, 이는 큰 $n$ 에서 비음성 다항식의 집합이 제곱합의 집합보다 지수적으로 크며, 제곱합의 집합이 선형형식의 $2k$-제곱합의 집합보다 지수적으로 크다는 것을 의미함.
• 결과적으로, 차수 $>2$ 에서는 비음성 검증을 제곱합 검증으로 대체하는 것은 일반적으로 계산적으로 비현실적임을 시사함.