[논문 리뷰] Von Neumann categories and extended $L^2$ cohomology

Michael Färber|ArXiv.org|1996. 10. 26.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $L^2$ 코homology를 일반화하고 아벨 확장을 값으로 가지는 확장된 호모로지 및 코호몰로지 이론을 정의하기 위한 프레임워크로 바나흐-바나흐 카테고리(von Neumann categories)를 소개한다. 이 카테고리에서 추적(trace)를 통해 수치적 불변량—바나흐-바나흐 차원(von Neumann dimension)과 국소 노비코프-슐빈 수(local Novikov–Shubin numbers)—를 수립하고, 특히 실해석적 설정과 사상 토러스에 대해 기하적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we suggest a new general formalism for studying the invariants of polyhedra and manifolds comming from the theory of von Neumann algebras. First, we examine generality in which one may apply the construction of the extended abelian category, which was suggested in the previous publications of the author, using the ideas of P.Freyd. This leads to the notions of a finite von Neumann category and of a trace on such category. Given a finite von Neumann category, we study the extended homology and cohomology theories with values in the abelian extension. Any trace on the initial category produces numerical invariants - the von Neumann dimension and the Novikov - Shubin numbers. Thus, we obtain the local versions of the Novikov - Shubin invariants, localized at different traces. In the "abelian" case this localization can be made more geometric: we show that any torsion object determines a "divisor" -- a closed subspace of the space of the parameters. The divisors of torsion objects together with the information produced by the local Novikov - Shubin invariants may be used to study multiplicities of intersections of algebraic and analytic varieties (we discuss here only simple examples demonstrating this possibility). We compute explicitly the divisors and the von Neumann dimensions of the extended cohomology in the real analytic situation. We also give general formulae for the extended cohomology of a mapping torus. Finally, we show how one can define a De Rham version of the extended cohomology and prove a De Rham type theorem.

연구 동기 및 목표

• 바나흐-바나흐 대수와 아벨 확장을 사용한 $L^2$-불변량에 대한 일반적 형식론을 개발하기 위해.
• 유한 바나흐-바나흐 카테고리 내에서 확장된 호모로지 및 코호몰로지 이론을 정의하기 위해.
• 이 카테고리에서의 추적에 대해 수치적 불변량—바나흐-바나흐 차원과 국소 노비코프-슐빈 수—를 연계하기 위해.
• 탄성 물체(torsion objects)를 매개변수 공간 내의 나누기(divisors)로 기하학적으로 해석하여 교차 멱함수(intersection multiplicity) 분석을 가능하게 하기 위해.
• 실해석적 경우에서 확장된 코호몰로지에 대한 데라함 유형 정리(De Rham-type theorem)를 수립하기 위해.

제안 방법

• 지역화와 아이디얼의 형식론을 사용하여 유한 바나흐-바나흐 카테고리의 아벨 확장을 구성하기 위해.
• 카테고리에 추적을 정의하여 확장된 코호몰로지 군의 바나흐-바나흐 차원과 노비코프-슐빈 불변량을 유도하기 위해.
• 확장된 카테고리 내의 탄성 물체가 추적의 매개변수 공간 내의 닫힌 부분공간(나누기)을 결정함을 특성화하기 위해.
• 실해석적 다양체에 이 형식론을 적용하여 명시적인 나누기와 바나흐-바나흐 차원을 계산하기 위해.
• 범주론적 프레임워크를 사용하여 사상 토러스의 확장된 코호몰로지에 대한 일반 공식을 유도하기 위해.
• 확장된 코호몰로지의 데라함 형태를 도입하고 실해석적 설정에서 데라함 동치 정리(De Rham isomorphism theorem)를 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 바나흐-바나흐 카테고리와 바나흐-바나흐 대수를 사용하여 확장된 $L^2$ 코호몰로지를 어떤 카테고리적 프레임워크에서 형식화할 수 있는가?
• RQ2 유한 바나흐-바나흐 카테고리에서의 추적으로부터 유도되는 수치적 불변량은 무엇이며, 국소 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 확장된 카테고리 내의 탄성 물체는 매개변수 공간 내의 나누기로 어떻게 기하학적으로 해석할 수 있는가?
• RQ4 실해석적 설정에서 확장된 코호몰로지와 바나흐-바나흐 차원의 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ5 실해석적 카테고리에서 확장된 코호몰로지에 대해 데라함 유형 정리를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 실해석적 설정에서의 확장된 코호몰로지 군은 바나흐-바나흐 차원과 나누기를 명시적으로 계산할 수 있다.
• 확장된 카테고리 내의 탄성 물체는 추적의 공간 내 닫힌 부분공간(나누기)에 대응하며, 이를 통해 기하학적 해석이 가능하다.
• 국소 노비코프-슐빈 불변량은 각 추적에서 정의되며, 고전적 불변량의 국소화된 형태를 제공한다.
• 범주론적 프레임워크를 사용하여 사상 토러스의 확장된 코호몰로지에 대한 일반 공식이 도출된다.
• 실해석적 경우에서 확장된 코호몰로지에 대해 데라함 동치 정리가 증명되어, 이를 미분형식과 연결한다.
• 이 형식론을 통해 대수적 및 해석적 다양체의 교차 멱함수를 나누기와 불변량 자료를 통해 연구할 수 있다.