[논문 리뷰] Von Neumann equivalence and properly proximal groups

Ishan Ishan, Jesse Peterson외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 19.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 측도 동치와 $W^{*}$-동치보다 더 흐린 동치 관계인 바나흐-폰 노이만 동치를 도입하고, 애매성, 성질 (T), 하아거룹 성질, 그리고 적절한 가까움 성질과 같은 해석적 성질이 이 동치에 under 보존됨을 증명한다. 또한 적절한 가까움 성질이 측도 동치와 $W^{*}$-동치에 대해 불변임을 증명하여, 내부 비가능성이 없고 적절히 가까운 성질이 없는 새로운 군의 예를 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a new equivalence relation on groups, which we call von Neumann equivalence, that is coarser than both measure equivalence and $W^*$-equivalence. We introduce a general procedure for inducing actions in this setting and use this to show that many analytic properties, such as amenability, property (T), and the Haagerup property, are preserved under von Neumann equivalence. We also show that proper proximality, which was defined recently by Boutonnet, Ioana, and the second author using dynamics, is also preserved under von Neumann equivalence. In particular, proper proximality is preserved under both measure equivalence and $W^*$-equivalence, and from this we obtain examples of non-inner amenable groups that are not properly proximal.

연구 동기 및 목표

• 측도 동치와 $W^{*}$-동치보다 더 흐린 동치 관계인 새로운 군 동치 관계인 바나흐-폰 노이만 동치를 정의하는 것.
• 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 분석적 성질을 군 간에 이전하는 데 사용할 수 있는 일반적인 방법론을 개발하는 것.
• 최근에 도입된 동역학적 성질인 적절한 가까움 성질이 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 보존됨을 보여주는 것.
• 적절한 가까움 성질이 측도 동치와 $W^{*}$-동치에 대해 모두 보존됨을 보여주어, 이 성질의 불변성을 더 넓은 군의 범주로 확장하는 것.
• 내부 비가능성이 없고 적절히 가까운 성질이 없는 새로운 군의 예를 구성하여 군 성질 분류의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 측도 동치의 일반화로서 ME-커플링과 관련된 지머 코사이클을 통해 바나흐-폰 노이만 동치를 정의한다.
• 이중 바나흐 $Λ$-모듈 $K$에 대해, ME-커플링에서 유도된 코사이클을 사용하여 $L^{∞}(X;K)$ 위의 유도된 작용을 구성한다.
• 유도된 작용을 통해 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 한 군에서 다른 군으로 적절히 가까운 점의 존재를 이전하는 데 사용한다.
• ME-커플링에서 유도된 코사이클이 적절함을 증명하여, 유도된 작용에서 수렴점들을 올리는 데 필수적인 조건을 확보한다.
• 제안된 보조정리 A.1의 고정점 통합 기법을 적용하여 $L^{∞}(X;K)$ 내의 $Γ$-고정점과 $K$ 내의 $Λ$-고정점 간의 관계를 규명한다.
• 유도된 작용 하에서 수렴점의 안정성을 활용하여, 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 적절한 가까움 성질이 보존됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 동치와 $W^{*}$-동치보다 더 흐린 동치 관계를 정의할 수 있으며, 이 관계가 핵심 분석적 군 성질을 보존할 수 있는가?
• RQ2 이중 바나흐 모듈 위의 다이내믹스에 의해 정의된 적절한 가까움 성질이 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 불변인가?
• RQ3 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 적절한 가까움 성질의 불변성은 내부 비가능성이 없고 적절히 가까운 성질이 없는 새로운 군의 예를 이끌어낼 수 있는가?
• RQ4 코사이클을 통한 유도된 작용 구성은 동치 군 간에 수렴점과 동역학적 성질을 이전하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 유도된 작용에서 수렴점의 안정성과 애매성, 성질 (T)와 같은 분석적 성질의 보존 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 바나흐-폰 노이만 동치는 측도 동치와 $W^{*}$-동치보다 더 흐린 동치 관계이며, 이 두 개념을 통합하고 일반화한다.
• 애매성, 성질 (T), 하아거룹 성질은 모두 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 보존되며, 이는 유도된 작용 구성에 의해 입증된다.
• 적절한 가까움 성질은 바나흐-폰 노이만 동치 하에서 보존되며, 이는 $L^{∞}(X;K)$ 위의 유도된 작용에서 수렴점들을 끌어올리는 방식으로 입증된다.
• 원래의 작용 $\Lambda{\,→\,}K$가 적절히 가까운 성질을 가지며 코사이클이 적절할 경우, 유도된 작용 $\Gamma{\,→\,}L^{\u221e}(X;K)$는 적절히 가까운 점의 존재를 유지한다.
• 측도 동치와 $W^{*}$-동치는 바나흐-폰 노이만 동치의 특수한 경우이므로, 적절한 가까움 성질은 이 두 동치 하에서도 보존된다.
• 논문은 내부 비가능성이 없고 적절히 가까운 성질이 없는 새로운 군의 예를 구성하여 군 성질 분류의 격차를 메운다.