[논문 리뷰] Voronoi Partition-based Scenario Reduction for Fast Sampling-based Stochastic Reachability Computation of LTI Systems

Hossein Sartipizadeh, Abraham P. Vinod외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 08.

Air Traffic Management and Optimization참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 선형 시간 불변(LTI) 시스템에 대한 샘플링 기반 확률적 도달가능성 계산을 가속화하기 위해 베로노이 분할 기반 시나리오 감소 방법을 제안한다. 샘플된 교란을 대표성 있는 셀로 군집화하고 각 셀당 제약 조건을 강화함으로써, 증명 가능성이 있는 신뢰도를 확보하면서 진정한 도달-피하기 확률을 하한 근사화한다. 이로 인해 계산 비용은 감소하면서도 정확도는 유지되며, 40개의 셀을 사용할 경우 온라인 실행 시간을 66초(푸리에 방법)에서 0.6초로 줄이는 데 성공했다.

ABSTRACT

In this paper, we address the stochastic reach-avoid problem for linear systems with additive stochastic uncertainty. We seek to compute the maximum probability that the states remain in a safe set over a finite time horizon and reach a target set at the final time. We employ sampling-based methods and provide a lower bound on the number of scenarios required to guarantee that our estimate provides an underapproximation. Due to the probabilistic nature of the sampling-based methods, our underapproximation guarantee is probabilistic, and the proposed lower bound can be used to satisfy a prescribed probabilistic confidence level. To decrease the computational complexity, we propose a Voronoi partition-based to check the reach-avoid constraints at representative partitions (cells), instead of the original scenarios. The state constraints arising from the safe and target sets are tightened appropriately so that the solution provides an underapproximation for the original sampling-based method. We propose a systematic approach for selecting these representative cells and provide the flexibility to trade-off the number of cells needed for accuracy with the computational cost.

연구 동기 및 목표

• 추가적인 확률적 불확실성을 가진 LTI 시스템에 대한 샘플링 기반 확률적 도달-피하기 분석의 높은 계산 복잡도를 해결한다.
• 근사 오차의 상한에 대해 사용자가 지정한 신뢰 수준을 확보하기 위해 필요한 시나리오 수의 확률적 하한을 제공한다.
• 샘플된 시나리오의 베로노이 분할을 활용하여 진정한 도달-피하기 확률을 계산적으로 효율적으로 하한 근사화하는 방법을 개발한다.
• 조절 가능한 분할 수를 통해 정확도와 계산 비용 간의 트레이드오���을 허용함으로써 실시간 적용 가능성을 확보한다.
• 우주선의 궤도 조율 및 도킹 문제에 대해 정량적 실행 시간 및 정확도 비교를 통해 제안된 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 사용자가 지정한 신뢰 수준에서 근사 오차 상한을 확보하기 위해 허프딩 부등식(Hoeffding’s inequality)을 활용하여 필요한 시나리오 수의 하한을 유도한다.
• 기존의 교란 시나리오를 K개의 대표성 있는 베로노이 셀로 군집화하기 위해 k-means 클러스터링을 적용하며, 각 셀은 시드 포인트를 가진다.
• 각 셀에 대해 상태 제약 조건을 강화하여 원래의 믹스드 인티거 린어 프로그래밍(MILP) 공식화의 유효한 하한 근사해를 유지한다.
• 전체 시나리오 집합 대신 K개의 대표 셀을 기반으로 믹스드 인티거 린어 프로그래밍(MILP)을 재구성함으로써 이진 변수와 계산 비용을 감소시킨다.
• 이석 내 제곱합(WSS) 곡선을 사용하여 오프라인에서 최적의 셀 수를 선택함으로써 정확도와 실행 시간 간의 균형을 이룬다.
• 감소된 MILP 해에서 근사된 도달-피하기 확률을 재구성하며, 이는 여전히 진정한 확률의 하한이 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사용자가 지정한 상한 오차에 대해 주어진 신뢰 수준에서 근사 오차 상한을 확보하기 위해 필요한 최소 시나리오 수는 얼마인가?
• RQ2 원래의 샘플링 기반 도달-피하기 계산의 하한 근사 성질을 유지하면서 시나리오 감소를 어떻게 수행할 수 있는가?
• RQ3 감소된 문제에서 계산 효율성과 정확도를 균형 잡기 위해 최적의 베로노이 셀 수는 얼마인가?
• RQ4 기존의 최첨단 방법들인 푸리에 변환 및 입자 필터 방법과 비교할 때, 제안된 방법은 정확도와 실행 시간 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 이 방법은 우주선 궤도 조율 및 도킹과 같은 실시간 제어 문제에 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 40개의 셀을 사용할 경우 온라인 계산 시간이 66초(푸리에 변환)에서 0.6초로 감소하여 99%의 속도 향상을 달성했다.
• 40개의 셀을 사용했을 때 추정된 종단 도달-피하기 확률은 0.8492였으며, 진정한 값인 0.86에 가까워 높은 정확도를 입증했다.
• 20개의 셀만으로도 0.83의 종단 확률을 달성하여 낮은 분할 수에서도 뛰어난 성능을 보였다.
• WSS 곡선 분석 결과, 20~40개의 셀을 초과하면 수익 감소 현상이 나타나며, 이는 20~40개의 셀이 정확도와 비용 간 실용적인 트레이드오프를 제공함을 시사한다.
• 최적의 셀 수를 선택하기 위한 오프라인 WSS 계산은 평균 2.68초가 소요되어 실시간 시스템 설계에 실현 가능하다.
• 시나리오 수에 따라 MILP의 지수적 복잡도가 증가하므로, 대규모 시나리오 수에서 입자 필터 기반 접근법에 비해 제안된 방법이 크게 슈퍼어리어어하다.