[논문 리뷰] Vortex solutions for the compressible Navier-Stokes equations with general viscosity coefficients in 1D: regularizing effects or not on the density

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 10.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초기 운동량 $\rho_0u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$ 및 초기 밀도 $\rho_0 \in BV(\mathbb{R})$라는 최소한의 정규성 조건 하에 일반 점성 계수 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$를 갖는 1차원 압축성 라우아르-스토크스 방정식에 대한 전역 약한 해의 존재를 확립한다. 핵심 결과는 밀도와 속도 사이의 강한 결합이 효과적 속도 $v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho$를 통해 이루어질 경우, 불연속적인 초기 밀도가 즉시 연속적인 해로 정규화되며, 약한 결합의 경우 불연속성이 유지된다는 것이다.

ABSTRACT

We consider Navier-Stokes equations for compressible viscous fluids in the one-dimensional case with general viscosity coefficients. We prove the existence of global weak solution when the initial momentum $ρ_0 u_0$ belongs to the set of the finite measure ${\cal M}(\mathbb{R})$ and when the initial density $ρ_0$ is in the set of bounded variation functions $BV(\mathbb{R})$. In particular it allows to deal with initial momentum which are Dirac masses and initial density which admit shocks. We can observe in particular that this type of initial data have infinite energy. Furthermore we show that if the coupling between the density and the velocity is sufficiently strong then the initial density which admits initially shocks is instantaneously regularized and becomes continuous. This coupling is expressed via the regularity of the so called effective velocity $v=u+\frac{μ(ρ)}{ρ^2}\partial_x ρ$ with $μ(ρ)$ the viscosity coefficient. Inversely if the coupling between the initial density and the initial velocity is too weak (typically $ρ_0 v_0\in{\cal M}(\mathbb{R})$) then we prove the existence of weak energy solution in finite time but the density remains a priori discontinuous on the time interval of existence.

연구 동기 및 목표

• 일반 점성 계수 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$를 갖는 1차원 압축성 라우아르-스토크스 방정식에 대한 전역 약한 해 존재를 확립한다.
• 초기 자료에 충격파나 딜라크 델타 질량이 포함된 경우, 밀도와 속도 사이의 결합이 초기 밀도에 미치는 정규화 효과를 분석한다.
• 초기 밀도가 불연속성을 가질 경우, 어떤 조건에서라도 유한 시간 내에 연속성이 회복되는지를 규명한다.
• 유한 에너지 가정을 초월하여, 초기 자료가 무한 에너지를 가질 수 있는 경우(예: 딜라크 운동량, BV 밀도)의 존재 결과를 확장한다.

제안 방법

• 근사 해 $ (\rho_n, u_n) $를 구성하기 위해 점성 정규화와 유한차분 근사 방법을 사용한다.
• Aubin-Lions 보조정리를 적용하여 $ \rho_n $ 및 $ \rho_n u_n $ 가 국소 $ L^p $ 공간에서 강한 수렴성을 확보한다.
• 파라프로덕트 추정 및 소볼레프 포함을 활용하여 비선형 항 $ \rho_n u_n^2 $ 및 $ \partial_x P(\rho_n) $ 를 제어한다.
• 밀도와 속도 사이의 결합 강도를 측정하기 위해 효과적 속도 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 를 도입한다.
• 밀도 $ \rho $ 와 $ 1/\rho $ 에 대해 $ L^\infty $ 에서의 균일한 유계성, 그리고 $ \partial_x\rho $ 에 대해 $ L^2_t(H^1_x) $ 에서의 유계성을 확립하여 컴팩턴스를 보장한다.
• Fatou의 보조정리와 약한 수렴성을 활용하여 극한을 취하고, 약한 해가 분포 의미에서 방정식을 만족함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 불연속적일 경우(예: $ BV(\mathbb{R}) $ 에 속함), 어떤 조건에서 유한 시간 내에 연속성이 회복되는가?
• RQ2 밀도와 속도 사이의 결합 강도—효과적 속도 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 의 정(regularity)를 통해 측정됨—이 밀도의 정(regularity)에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 점성 계수가 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ 인 압축성 라우아르-스토크스 방정식에 대해, 무한 에너지를 가진 초기 자료를 가정할 때도 전역 약한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ4 압력 법칙 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $ (여기서 $ \gamma > 1 $) 이 정규성 및 존재성 프레임워크에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 초기 자료에 대해 소형 조건을 가정하지 않을 경우, $ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ 이고 $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ 라면 여전히 전역 존재성이 보장되는가?

주요 결과

• 초기 운동량 $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ 이고 초기 밀도 $ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ 라면, 무한 에너지를 가질 수 있음에도 불구하고 전역 약한 해가 존재한다.
• 효과적 속도 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 가 충분히 정(regular, 예: $ L^2 $ 에 속함)할 경우, 초기 불연속 밀도는 $ t > 0 $ 이후 즉시 연속적인 해로 변환된다.
• 결합이 약할 경우(예: $ \rho_0 v_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $), 밀도는 존재 시간 동안 불연속성을 유지한다.
• 해는 $ \|\rho(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq C(t) $ 와 $ \|\partial_x\rho\|_{L^2_t(L^2_x)} \leq C $ 라는 균일한 시간 유계성을 만족한다.
• 속도 $ u $ 는 $ L^{p(s)-\epsilon}_{\text{loc}}(H^s_{\text{loc}}) $ 에 속하며, 여기서 $ p(s) = \frac{3}{1+2s} $, $ 0 \leq s < 1 $, 그리고 $ \epsilon > 0 $ 이다.
• $ \rho_n u_n $ 이 $ L^2_{\text{loc}}(L^2_{\text{loc}}) $ 에서 $ \rho u $ 로 강한 수렴성을 보이며, 이는 비선형 항에서 극한을 취하는 데 유리하다.