[논문 리뷰] W algebra, Cosets and VOA for 4d N = 2 SCFT from M5 branes

Dan Xie, Wenbin Yan|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 07.

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한 줄 요약

이 논문은 M5-brane에서 유도된 4차원 $χ=2$ 초공변(field) 이론(SCFT)의 계열에 대해, 유니폴렌트 오비트 $[q^m,1^s]$와 관련된 $W$ 대수를 통해 그들의 정점 연산자 대수(VOA)를 구성함으로써 이를 규명한다. 일반적인 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 이론의 VOA는 이러한 $W$ 대수의 코셋으로 나타나며, 이는 2차원 VOA에서의 수준-랭크 dualities, 공변 임bedding 등 새로운 이중성과 성질을 드러낸다.

ABSTRACT

We identify vertex operator algebras (VOAs) of a class of Argyres-Douglas (AD) matters with two types of non-abelian flavor symmetries. They are the $W$ algebra defined using nilpotent orbit with partition $[q^m,1^s]$. Gauging above AD matters, we can find VOAs for more general $\mathcal{N}=2$ SCFTs engineered from 6d $(2,0)$ theories. For example, the VOA for general $(A_{N-1}, A_{k-1})$ theory is found as the coset of a collection of above $W$ algebras. Various new interesting properties of 2d VOAs such as level-rank duality, conformal embedding, collapsing levels, coset constructions for known VOAs can be derived from 4d theory.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $(2,0)$ 이론에 비정상적 및 정상적 특이점을 가진 불완전한 구조에서 유도된, 두 개의 비아벨 플라버 대칭을 가진 아르게이레스-도우거스(AD) 이론과 관련된 정점 연산자 대수(VOA)를 규명하는 것.
• 4차원 $χ=2$ SCFT가 AD 물질의 공변 게이징을 통해 구성될 때, 이와 2차원 VOA 간의 코셋 구성에 의한 대응관계를 수립하는 것.
• 4차원 SCFT 기원을 분석함으로써 2차원 VOA의 새로운 성질—예를 들어 수준-랭크 dualities, 공변 임bedding, 붕괴 수준 등—을 도출하는 것.
• 클래식 리 대수 $\mathfrak{sl}_n$, $\mathfrak{so}_{2n}$, $\mathfrak{so}_{2n+1}$, $\mathfrak{sp}_{2n}$에 대해 유니폴렌트 오비트 데이터를 바탕으로 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 대수의 중심적 차수를 명시적인 공식으로 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 4차원에서 전체 구멍을 일반적인 구멍으로 줄이는 연산을 2차원 VOA에서의 감소 연산으로 연결하기 위해 양자 드린펠드-소코로프(qDS) 감소를 사용한다. 이는 4차원 연산을 2차원 대수적 구조로 연결한다.
• 두 개의 비아贝尔 플라버 대칭을 가진 AD 이론의 VOA는 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 대수로 식별되며, 이는 비정상적 특이성 데이터로 결정되는 수준 $k'$에서 아핀 카크-무디 대수로부터 양자 해밀토니안 감소를 통해 구성된다.
• 일반적인 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 이론의 VOA는 4차원 SCFT와 2차원 VOA 간의 공변 게이징 대응관계를 이용해 다수의 $W$ 대수의 코셋으로 유도된다.
• 표현형 차수와 $\mathfrak{g}_0$, $\mathfrak{g}_{1/2}$ 부분공간의 다이노프 지수와 차수 공식을 사용하여 중심적 차수를 명시적으로 계산한다. 이는 유니폴렌트 오비트 분할에 대응하는 $\mathfrak{sl}_2$-삼중항으로 유도된다.
• 구성은 $\mathfrak{sl}_2$-삼중항과 정규직교 기저를 이용하여 중심적 차수 공식에 포함되는 내적 $ (\rho,\rho) $, $ (x_0,x_0) $, $ (\rho,x_0) $를 계산한다.
• 클래식 리 대수의 경우, $x_0$의 명시적 행렬 표현을 사용하여 $n$, $q$, $m$, $k$, $\mathfrak{g}$의 랭크를 변수로 하는 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$의 중심적 차수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 M5-brane 구성에서 비정상적 특이성과 정상적 특이성을 가진 4차원 $χ=2$ SCFT가 발생할 때, 두 개의 비아벨 플라버 대칭을 가진 정점 연산자 대수(VOA)는 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ2 4차원 공변 게이징으로서의 물질 다중체 연산과 2차원 VOA에서의 코셋 구성 연산 간의 정확한 대응관계는 무엇인가?
• RQ3 2차원 VOA에서의 성질—예를 들어 수준-랭크 dualities, 공변 임bedding, 붕괴 수준—은 4차원 SCFT 프레임워크에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 유니폴렌트 오비트 분할 $[q^m,1^s]$를 가진 클래식 리 대수 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n, \mathfrak{so}_{2n}, \mathfrak{so}_{2n+1}, \mathfrak{sp}_{2n}$에 대해 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 대수의 중심적 차수는 무엇인가?
• RQ5 일반적인 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 이론의 VOA는 유니폴렌트 오비트 형식 $[q^m,1^s]$에 관련된 $W$ 대수의 코셋으로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 두 개의 비아贝尔 플라버 대칭을 가진 아르게이레스-도우거스 이론의 VOA는 $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$로 식별되며, 이는 비정상적 특이성 데이터로 결정되는 $k$에 의해 결정되며, 아핀 카크-무디 대수로부터 양자 해밀토니안 감소를 통해 구성된다.
• 일반적인 $(A_{N-1},A_{k-1})$ 이론의 VOA는 다수의 $W$ 대수 $W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$의 코셋으로 표현되며, 이는 이러한 VOA에 대한 새로운 구성법을 제공한다.
• $W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$의 중심적 차수는 $c = mq(k - n + (m + 3n)q - (k + m + n)q^2) - \frac{k + k(m - n)n + mn^2}{k + n}$로 주어지며, 이는 $\mathfrak{g}_0$와 $\mathfrak{g}_{1/2}$의 차수와 내적을 명시적으로 계산한 결과에서 도출된다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n}$인 경우 중심적 차수는 $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 2)q^2 - q(6n + m - 3) + 2n - k + 1) - \frac{kn(m - 2n + 1) + 2mn(n - 1)}{k + 2n - 2}$로 주어지며, 이는 $q$와 $m$이 짝수일 때 유효하다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n+1}$인 경우 중심적 차수는 $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 1)q^2 - q(6n + m) + 2n - k + 2) - \frac{(2n+1)(m(k + 2n - 1) - 2kn)}{2(k + 2n - 1)}$로 주어지며, 동일한 기수 조건을 만족할 때 유도된다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}_{2n}$인 경우 중심적 차수는 $c = -\frac{1}{2}mq((2k + m + 2n + 2)q^2 - q(6n + m + 3) + 2n - 2k - 1) - \frac{n(m(n+1) - k(2n - m + 1))}{k + n + 1}$로 주어지며, 이는 $q$가 짝수일 때 유효하다.