[논문 리뷰] W-algebras associated to surfaces

Andrei Neguţ|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 프로젝티브 표면 S 위의 안정층의 모듈리 공간의 K-이론에 대해 glr 유형의 변형 W-대수의 작용을 구축하며, 나카지마의 코homological 구축을 일반화한다. 유도 대수기하학의 대응과 이중 셔플 대수를 사용하여, W-대수 작용이 차수 > r인 생성자들이 0으로 작용하는 몫을 통해 인식됨을 증명함으로써, K-이론적 기하 표현 이론을 통해 임의의 표면에 대해 5차원 AGT 대응을 수학적으로 실현한다.

ABSTRACT

We define an integral form of the deformed W-algebra of type gl_r, and construct its action on the K-theory groups of moduli spaces of rank r stable sheaves on a smooth projective surface S, under certain assumptions. Our construction generalizes the action studied by Nakajima, Grojnowski and Baranovsky in cohomology, although the appearance of deformed W-algebras by generators and relations is a new feature. Physically, this action encodes the AGT correspondence for 5d supersymmetric gauge theory on S x circle.

연구 동기 및 목표

• glr 유형의 변형 W-대수의 정수형을 정의하고, 매끄러운 프로젝티브 표면 S 위의 안정층의 모듈리 공간의 K-이론에 대한 그 작용을 구축한다.
• 특히 토릭 또는 A2 경우를 초월하여 임의의 표면에 대해 나카지마의 W-대수 작용의 코homological 구축을 K-이론적 설정으로 일반화한다.
• K-이론적 기하 표현 이론을 통해 S × S¹ 위의 랭크 r > 1 게이지 이론에 대해 5차원 AGT 대응을 수학적으로 실현한다.
• 기하학적 및 코homological 추론을 사용하여 W-대수 Ar의 작용이 차수 > r인 생성자들이 0이 되는 몫을 통해 인식됨을 증명한다.
• Bogomolov 부등식과 유도 대응에 기반하여, 고차수 W-생성자들이 K-이론 모듈러스에서의 소멸을 기하학적으로 증명한다.

제안 방법

• 이중 셔플 대수 A의 완비화를 사용하여, Z[q₁±¹, q₂±¹] 위에서 생성자 Wn,k (n ∈ Z, k = 1, ..., r)를 가진 변형 W-대수 Ar을 정의한다.
• 유도 대수기하학에서의 명시적 대응 Z₁ 및 Z•₂를 통해 이중 셔플 대수 A가 KM에 작용하도록 구축한다.
• 이중 셔플 대수 A를 완비화한 bA로 올리기 위해 A∞를 정의하고, A∞가 몫 Ar = A∞ / (Wn,k for k > r)를 통해 KM에 작용함을 보인다.
• Nakajima–Grojnowski–Baranovsky 구축에서의 특이점을 해소하는 대응 Z₁ 및 Z•₂를 dg 스킴으로서 사용하며, 가정 S 하에서 그들이 매끄러운 스킴임을 증명한다.
• 식 (6.18)을 적용하여 T←, T→ 및 E0,k 생성자들로 Wd,k를 표현하고, 그들의 KM 위 작용을 체르니 클래스 연산과 행렬식 배ndl에 의해 해석한다.
• 유도 섞임 곱 Wd₁,d₂에서의 취소 원리에 기반하여 식 (6.24)의 잔여 공식이 k > r일 때 0이 됨을 보여 이론 6.9를 증명한다. 이는 Qd₂−1 eL = Qd₂ 및 행렬식 선다발의 자연 동형에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 프로젝티브 표면에 대해 코homology에서 K-이론으로의 W-대수 작용을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표면 S 위의 안정층의 모듈리 공간의 K-이론에 대해, 매개변수 q₁, q₂가 Ω¹S의 체르니 루트로 식별되는 glr 유형의 변형 W-대수가 작용하는가?
• RQ3 왜 K-이론에서 k > r인 W-생성자 Wn,k가 소멸하는가? 그리고 모듈러스의 기약성을 가정하지 않고 기하학적으로 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 이중 셔플 대수 A의 KM 위 작용은 대응을 통해 잘 정의되는가? 그리고 이는 완비화 bA 및 몫 Ar로 확장되는가?
• RQ5 S × S¹ 위의 5차원 초대칭 게이지 이론에 대해 AGT 대응은 K-이론적 기하 표현 이론을 통해 임의의 표면에서 수학적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 매끄러운 프로젝티브 표면 S 위의 안정층의 모듈리 공간의 K-이론 군 KM에 대해, 매개변수 q₁, q₂가 코탄제트 배ndl Ω¹S의 체르니 루트로 식별되는 변형 W-대수 Ar의 잘 정의된 작용을 구축한다.
• 이 작용은 유도 대수기하학에서의 명시적 대응 Z₁ 및 Z•₂를 통해 실현되며, 가정 S 하에서 이들이 매끄러운 스킴임이 증명되어 나카지마의 코homological 구축을 일반화한다.
• 핵심 결과인 정리 6.9는 k > r일 때 W-생성자 Wd,k가 KM 내에서 소멸함을 증명하며, 이는 Ar의 정의에 따라 반드시 요구되는 몫 Ar = A∞ / (Wn,k for k > r)를 통한 작용 인식을 의미한다.
• k > r에서의 소멸은 유도 섞임 곱 Wd₁,d₂에서의 취소 메커니즘에 의해 확립되며, (d₁, d₂)의 기여가 (d₁−1, d₂−1)의 기여와 상쇄되어 식 (6.26)의 잔여 적분이 0이 된다.
• k = r일 때, Wd,r의 작용은 (π₁ × πS)∗[(det eU)d₂+1 / ((−1)^r Q^r) · π₂∗]와 일치하며, 이는 표준적인 완비 대칭 함수에 대한 식별에 따라 A∞ 내의 요소 ∑ h−d₁ h d₂에 대응한다.
• 이 구축은 Kunneth 분해 KS×S 및 국소 자유 유니버설 층의 존재를 포함하는 가정 B 하에서 유효하며, P²와 같은 유리 표면에 대해 성립한다.