[논문 리뷰] $W$-entropy formulas and Langevin deformation of flows on Wasserstein space over Riemannian manifolds

Songzi Li, Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 43인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만다이만다이만 다각형 위의 워셔스타인 공간에서의 그라디언트 흐름과 지오데식 흐름 사이를 연결하는 라ング지언 변형을 도입하며, 이 변형을 따라 페렐만 유형의 $W$-엔트로피 공식을 수립한다. 이 변형에 대해 존재성, 유일성, 정칙성, 수렴성과 함께 $CD(0,m)$ 조건 하에서의 강성 정리도 증명하며, 엔트로피 단조성 및 볼록성 결과를 더 넓은 범주로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce Perelman's $W$-entropy and prove the $W$-entropy formula along the geodesic flow on the $L^2$-Wasserstein space over compact Riemannian manifolds equipped with Otto's Riemannian metric, which allows us to recapture a previous result due to Lott and Villani on the displacement convexity of $s{ m Ent}+ns\log s$ on $P^\infty_2(M)$ over Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature. To better understand the similarity between the $W$-entropy formula for the geodesic flow on the Wasserstein space and the $W$-entropy formula for the heat equation of the Witten Laplacian on the underlying manifolds, we introduce the Langevin deformation of flows on the Wasserstein space over Riemannian manifold, which interpolates the gradient flow and the geodesic flow on the Wasserstein space over Riemannian manifolds, and can be regarded as the potential flow of the compressible Euler equation with damping on manifolds. We prove the existence, uniqueness and regularity of the Langevin deformation on the Wasserstein space over the Euclidean space and compact Riemannian manifolds, and prove the convergence of the Langevin deformation for $c ightarrow 0$ and $c ightarrow \infty$ respectively. We prove an analogue of the Perelman type $W$-entropy formula along the Langevin deformation on the Wasserstein space on Riemannian manifolds. A rigidity theorem is proved for the $W$-entropy for the geodesic flow, and a rigidity model is also provided for the Langevin deformation on the Wasserstein space over complete Riemannian manifolds with the $CD(0, m)$-condition.

연구 동기 및 목표

• 리만다이만다이만 다각형 위의 워셔스타인 공간에서 리치 흐름에 대한 페렐만의 $W$-엔트로피 프레임워크를 지오데식 흐름으로 확장한다.
• 라ング지언 변형을 연속적인 그라디언트 흐름과 지오데식 흐름 사이의 보간으로 도입하고, 엄밀한 분석을 수행한다.
• 유클리드 공간과 컴acts 리만다이만다이만 다각형 위에서의 라ング지언 변형에 대해 존재성, 유일성, 정칙성을 증명한다.
• 라ング지언 변형을 따라 페렐만의 것과 유사한 $W$-엔트로피 공식을 수립하고, 곡률 조건 하에서 강성 정리를 유도한다.
• 곡률 경계가 있는 메트릭 측도 공간의 맥락에서 $W$-엔트로피 단조성과 엔트로피 함수의 이동 볼록성 간의 관계를 탐구한다.

제안 방법

• 라ング지언 변형을 워셔스타인 공간 위의 흐름으로 정의하여, 엔트로피에 의해 구동되는 그라디언트 흐름과 최적 운반에 의해 구동되는 지오데식 흐름 사이를 보간한다. 이는 감쇠 계수 $c$에 의해 제어된다.
• 라ング지언 흐름을 따라 밀도 $ ho(t)$의 진화 방정식을 유도하며, 워셔스타인 거리, 엔트로피 기울기, 그리고 $1/c^2$ 비례의 감쇠 항이 포함된다.
• 오또의 무한차원 리만기하학을 $P_2(M)$에 적용하여 $L^2$-워셔스타인 거리와 리만 기울기의 $L^2$-대칭을 이용해 접선 벡터를 정의한다.
• 라ング지언 흐름을 따라 $W$-엔트로피 공식을 수립하기 위해 버틀만-샤논 엔트로피의 이阶도를 계산하고, $CD(0,m)$ 조건을 통해 곡률와 연관지운다.
• $CD(K,m)$ 조건과 바크리-에메리 리치 곡률을 이용하여 엔트로피, 그 도함수, 속도의 워셔스타인 노름을 포함하는 미분부등식을 도출한다.
• 최적 운반, 확률적 분석, 기하학적 분석 기법을 적용하여 $c \to 0$ (그라디언트 흐름 극한) 및 $c \to \infty$ (지오데식 흐름 극한)에서의 라ング지언 흐름 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이만다이만 다각형 위의 워셔스타인 공간에서의 라ング지언 변형에 대해 $W$-엔트로피 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 라ング지언 변형은 워셔스타인 공간에서의 그라디언트 흐름과 지오데식 흐름 사이를 어떻게 보간하며, 그 역학적 성질은 무엇인가?
• RQ3 라ング지언 흐름은 $c \to 0$ 및 $c \to \infty$ 극한에서 어떻게 행동하는가? 그리고 기존의 흐름과는 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 어떤 곡률 조건 하에서 $W$-엔트로피가 변형 동안 단조롭거나 강성 구조를 유지하는가?
• RQ5 $W$-엔트로피 프레임워크를 RCD$(0,N)$ 또는 수퍼 리치 흐름 구조를 갖는 메트릭 측도 공간으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유클리드 공간과 컴팩트 리만다이만다이만 다각형 위의 워셔스타인 공간에서의 라ング지언 변형은 존재하며, 유일하고 시간에 대해 $C^2$-정칙이다.
• 모든 $c \to 0$일 때, 라ング지언 흐름은 버틀만-샤논 엔트로피의 그라디언트 흐름으로 수렴한다; $c \to \infty$일 때는 워셔스타인 공간 위의 지오데식 흐름으로 수렴한다.
• 라ング지언 변형을 따라 페렐만 유형의 $W$-엔트로피 공식이 수립되며, 이는 엔트로피의 이阶도, 속도 노름, 곡률 항을 포함한다.
• $CD(0,m)$ 조건 하에서 $W$-엔트로피가 비감소함을 보이며, 강성의 경우 등호가 성립할 경우 특정 모델 구조를 가짐을 의미한다.
• 강성 정리가 증명된다: 만약 $W$-엔트로피가 지오데식 흐름을 따라 일정하다면, 다각형은 일정 밀도를 갖는 유클리드 공간과 등각적일 수밖에 없다.
• 라ング지언 흐름을 따라 엔트로피에 대해 유사한 미분부등식이 도출된다: \\n$$ \frac{d^2}{dt^2} \text{Ent} + \left(2\alpha(t) + \frac{1}{c^2}\right) \frac{d}{dt} \text{Ent} + N\alpha^2(t) + \frac{1}{c^2}\|\nabla \text{Ent}\|^2 \geq \frac{1}{N}|\langle \nabla \text{Ent}, \dot{\rho} \rangle + N\alpha(t)|^2 + K\|\dot{\rho}\|^2 $$ 여기서 $\alpha(t) = (\log u)'$ 이고 $m = N$이다.