[논문 리뷰] $W^{m,p}$-Solution ($p\geq2$) of Linear Degenerate Backward Stochastic Partial Differential Equations in the Whole Space

Kai Du, Shanjian Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 전체 공간 $\mathbb{R}^d$ 내에서 선형 비가역 후행 확률편미분방정식(BSPDEs)에 대해 $p \geq 2$ 및 $m \geq 1$인 $W^{m,p}$-해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 이전에 Ma와 Yong이 $W^{m,2}$-정규성에 대해 요구했던 분산 계수 $\sigma$에 대한 대칭 조건을 필요로 하지 않는다. 핵심 기여는 가중 $L^p$-노름과 확률 미적분을 활용한 새로운 사전 추정 기법으로, 일반적인 비가역 계수에 대해 소볼레프 공간 내 정규성 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the backward Cauchy problem of linear degenerate stochastic partial differential equations. We obtain the existence and uniqueness results in Sobolev space $L^p(Ω; C([0,T];W^{m,p}))$ with both $m\geq 1$ and $p\geq 2$ being arbitrary, without imposing the symmetry condition for the coefficient $σ$ of the gradient of the second unknown---which was introduced by Ma and Yong [Prob. Theor. Relat. Fields 113 (1999)] in the case of $p=2$. To illustrate the application, we give a maximum principle for optimal control of degenerate stochastic partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 이전에 $W^{m,2}$-정규성에 요구되었던 $\sigma$에 대한 대칭 조건 없이 비가역 후행 확률편미분방정식을 해결하는 데 대한 열린 문제를 다루는 것.
• BSPDE의 정규성 이론을 $p \geq 2$ 및 임의의 $m \geq 1$인 $W^{m,p}$-공간으로 확장하여 전체 공간 $\mathbb{R}^d$ 내에서 다루는 것.
• 초초퍼러블리시티 가정을 제거하고 BSPDE 프레임워크 내에서 비가역 분산 계수를 允許하는 것.
• 유도된 정규성 결과를 바탕으로 비가역 SPDE의 최적 제어에 대한 최대 원리 도출하기

제안 방법

• 절단 기법과 순차적 스무드 근사 $\Psi_M$ 및 $G_{N,p}$를 사용하여 가중 $L^p$-노름 내 사전 추정을 유도한다.
• Itô 공식을 함수 $G_{N,p}(\Psi_M)$에 적용한다. 여기서 $\Psi_M$는 해의 공간 도함수의 $L^p$-노름의 절단된 형태이다.
• BDG 부등식과 확률 미적분을 활용하여 Itô 공식 적용 시 발생하는 마팅게일 항을 제어한다.
• $\sigma$에 대한 대칭 조건을 도입하지 않고, $\sigma$와 그 도함수를 포함한 비선형 항의 정밀한 추정에 의존한다.
• $M \to \infty$ 및 $N \to \infty$로의 극한 절차를 통해 근사해에서 실제 해로의 $W^{m,p}$-공간 내 전환을 수행한다.
• Gronwall 유형의 추론과 종료 데이터 및 강제항에 대한 $L^p$-유계성에 기반하여 핵심 추정을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역 BSPDE에 대해 $\mathbb{R}^d$ 내에서 $\sigma$에 대한 대칭 조건 없이 $W^{m,p}$-해의 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 비가역 계수를 가진 선형 비가역 BSPDE에 대해 $p \geq 2$ 및 $m \geq 1$일 때 어떤 $L^p$-정규성을 달성할 수 있는가?
• RQ3 비가역 경우에서 $L^2$-프레임워크를 초월하여 고차원 소볼레프 공간으로 해 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 해 이론을 바탕으로 비가역 SPDE의 최적 제어에 대한 최대 원리를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $p \geq 2$ 및 $m \geq 1$ 조건 하에 일반적인 비가역 조건을 가진 분산 계수 $\sigma$ 하에서 $L^p(\Omega; C([0,T]; W^{m,p}(\mathbb{R}^d)))$ 공간 내 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 해는 다음 형태의 사전 $L^p$-추정을 만족한다: $\mathbb{E} \sup_{t \leq T} \|u(t)\|_{m,p}^p \leq C e^{Cp} \left( \mathbb{E} \|\varphi\|_{m,2p}^{2p} + \mathbb{E} \int_0^T \|f\|_{m,2p}^{2p} ds \right)$, 여기서 $C$는 $p$에 독립적이다.
• Ma와 Yong이 $p=2$에 대해 이전에 요구했던 $\sigma$에 대한 대칭 조건이 제거되어 이론의 적용 범위가 크게 확장된다.
• 이 방법은 차원 $d$에 대한 가정을 필요로 하지 않으며, $\sigma$가 일정하거나 $x$에 대해 불변이어야 한다는 조건도 필요로 하지 않는다.
• 이 결과는 비가역 SPDE의 최적 제어에 대한 최대 원리를 가능하게 하며, 수반 BSPDE 프레임워크를 통해 도출된다.
• 증명은 기존의 확률 흐름 방법이나 대칭성에 의존하지 않고, 가중 노름과 절단을 활용한 새로운 $L^p$-추정 기법에 기반한다.