[논문 리뷰] W-types in sheaves

Benno van den Berg, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 층의 범주에서 W-형식의 정확하고 구체적인 기술을 제공하며, 이전 연구에서 층의 W-형식이 예비층의 것과 동일하게 계산될 수 있다고 잘못 주장한 바를 수정한다. 예비층과 층의 범주에서 초기 대상(단위 대상 위의 항등 사상에 대한 W-형식)이 다르며, 그에 따라 그라멘지에 사이트와 시브를 사용한 정확한 구성법을 제시한다. 이는 층 토포스에서 유형 이론을 위한 기초 도구를 확립한다.

ABSTRACT

In this small note we give a concrete description of W-types in categories of sheaves. It can be shown that any topos with a natural numbers object has all Wtypes. Although there is this general result, it can be useful to have a concrete description of W-types in various toposes. For example, a concrete description of W-types in the effective topos can be found in [2, 3], and a concrete description of W-types in categories of presheaves was given in [5]. It was claimed in [5] that W-types in categories of sheaves are computed as in presheaves (Proposition 5.7 in loc.cit.) and can therefore be described in the same way. Unfortunately, this claim is incorrect, as the following (easy) counterexample shows. Let f : 1 → 1 be the identity map on the terminal object. The W-type associated to f is the initial object, which, in general, is different in categories of presheaves and sheaves. This means that we still lack a concrete description of W-types in categories of sheaves. This note aims to fill this gap. We would like to warn readers who are sensitive to such issues that our metatheory is ZFC. In particular, we freely use the axiom of choice. We leave the issue of how to describe W-types in categories of sheaves when the metatheory is more demanding (i.e. weaker) to another occasion. Categories of sheaves are described using (Grothendieck) sites. There are different formulations of the notion of a site, all essentially equivalent ([4] provides an excellent discussion of this point), but for our purposes we find the following (“sifted”) formulation the most useful. Definition 0.1 Let C be a category. A sieve S on an object a ∈ C consists of a set of arrows in C all having codomain a and closed under precomposition (i.e., if f : b → a and g: c → b are arrows in C and f belongs to S, then so does fg). We call the set Ma of all arrows into a the maximal sieve on a. If S is a sieve on a and f : b → a is any map in C, we write f∗S for the sieve {g: c → b : fg ∈ S} on b. In case f belongs to S, we have f∗S = Mb. A (Grothendieck) topology Cov on C is given by assigning to every object a ∈ C a collection of sieves Cov(a) such that the following axioms are satisfied:

연구 동기 및 목표

• 자연수 대상이 존재하는 토포스에서 W-형식이 존재하긴 하지만, 그에 대한 정확하고 구체적인 기술이 부족한 데 대응하기 위해.
• [5]에서 층의 W-형식이 예비층의 것과 동일하게 계산된다고 잘못 주장한 바를 수정하기 위해.
• 그라멘지에 사이트와 시브의 언어를 사용하여 층 토포스에서 W-형식의 정확하고 사용 가능한 구성법을 제공하기 위해.
• 특히 구조적 및 범주론적 논리에의 응용을 위해, 층 토포스에서 유형 이론적 구성법의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 클리어하고 유용한 '산산이 흩어진'(sifted) 서술 방식을 위해, 시브를 포함한 그라멘지에 사이트의 프레임워크를 사용하여 층 범주를 기술한다.
• 객체 a 위의 시브 S를, 공도가 a인 화살표들의 집합으로 정의하며, 사전 복합에 대해 닫혀 있음을 조건으로 한다. 또한, 시브에 대한 f∗S의 인플로우 연산을 도입한다.
• 표준적인 귀납적 구성법을 통해, 종속 가족 f: A → B에 의해 W-형식을 구성하며, f에 관련된 다항함수 포터널에 대한 초기 대수로 W-형식을 해석한다.
• 예비층과 층의 범주에서 W-형식의 구성 방식이 다르다는 것을 입증하기 위해 반례를 제시한다: 단위 대상 위의 항등 사상에 관련된 W-형식은 층의 범주에서 예비층의 범주와 다를 바 있다.
• 층의 범주에서 정확한 구성법을 확립하기 위해, 예비층 수준의 W-형식에 대해 층화를 적용해야 하며, 이는 층의 W-형식이 단지 층으로 간주된 예비층 W-형식과 같지 않음을 의미한다.
• ZFC를 메타이론으로 사용하며, 선택 공리를 포함한다. 더 약한 메타이론을 사용할 경우 별도의 다루기가 필요하다는 점을 인정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 층의 범주에서 W-형식은 어떻게 구성되며, 그것의 예비층에 대한 대응체와 어떻게 다를까?
• RQ2 [5]에서 층의 W-형식이 예비층과 동일하게 계산된다고 주장한 것이 잘못된 이유는 무엇인가?
• RQ3 그라멘지에 사이트와 시브의 언어를 사용하여 층 토포스에서 W-형식의 정확하고 구체적인 기술은 무엇인가?
• RQ4 층의 범주에서의 초기 대상은 예비층의 범주에서의 것과 어떻게 비교되며, 이는 W-형식에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 층에서 W-형식에 대해, 층 조건과 W-형식의 보편 성질을 모두 만족시키는 통일된 구성법을 제시할 수 있는가?

주요 결과

• [5]에서 층의 W-형식이 예비층의 것과 동일하게 계산된다고 주장한 것은 잘못되었으며, 단위 대상 위의 항등 사상에 대한 반례를 통해 이를 입증하였다.
• f: 1 → 1의 항등 사상에 관련된 W-형식은 어떤 토포스에서나 초기 대상이지만, 이 대상은 예비층의 범주와 층의 범주에서 서로 다르다.
• 층의 범주에서 W-형식을 구성하기 위해서는 예비층 수준의 W-형식에 대해 층화를 적용해야 하며, 이는 층의 W-형식이 단지 층으로 간주된 예비층 W-형식과 동일하지 않음을 의미한다.
• 그라멘지에 사이트와 시브의 언어를 사용하여 층의 범주에서 W-형식의 정확하고 구체적인 기술을 제공하였으며, 이는 W-형식의 보편 성질이 충족됨을 보장한다.
• 모든 자연수 대상이 존재하는 모든 토포스는 모든 W-형식을 갖지만, 층 토포스에서의 정확한 기술은 비잔티움적이며 층 조건을 신중히 다루어야 한다는 것을 이 논문이 입증한다.
• 이 결과는 특히 구조적 및 예비적 수학에 응용되는 층 토포스에서의 유형 이론을 위한 기초 도구를 제공한다.