[논문 리뷰] W-Types with Reductions and the Small Object Argument

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 감소를 갖는 W형식—의존적 W형식의 일반화—을 도입하여, 지정된 다항형수의 초기 대수로 간주한다. 이는 WISC를 만족하는 ΠW-전체에서 존재를 증명하며, 특히 유한한 순서수의 쌍대극한이 필요로 하지 않는 실현 가능성 및 그로텐디크 토포스에서, 소형 객체 방법을 통한 새로운 대칭 약약 인자 시스템(awfs) 구축을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We define a simple kind of higher inductive type generalising dependent $W$-types, which we refer to as $W$-types with reductions. Just as dependent $W$-types can be characterised as initial algebras of certain endofunctors (referred to as polynomial endofunctors), we will define our generalisation as initial algebras of certain pointed endofunctors, which we will refer to as pointed polynomial endofunctors. We will show that $W$-types with reductions exist in all $ΠW$-pretoposes that satisfy a weak choice axiom, known as weakly initial set of covers (WISC). This includes all Grothendieck toposes and realizability toposes as long as WISC holds in the background universe. We will show that a large class of $W$-types with reductions in internal presheaf categories can be constructed without using WISC. We will show that $W$-types with reductions suffice to construct some interesting examples of algebraic weak factorisation systems (awfs's). Specifically, we will see how to construct awfs's that are cofibrantly generated with respect to a codomain fibration, as defined in a previous paper by the author.

연구 동기 및 목표

• 일부 생성자와 그 인수를 식별하는 감소를 갖는 W형식을 도입하여 의존적 W형식을 일반화한다.
• 실현 가능성 및 그로텐디크 토포스를 포함한 WISC를 만족하는 ΠW-전체에서 이러한 형식의 존재를 확립한다.
• 소형 객체 방법을 통한 코프리미티브 생성 awfs에 대한 적용을 시도하며, 특히 도메인 피브레이션을 중심으로 한다.
• 감소를 갖는 W형식이 무한한 쌍대극한 기반의 고차형식 인도티브 형식 구축의 예측 가능하고 확장 가능한 대체 방법을 제공함을 보여준다.
• 호모토피형식 이론의 의미론에서의 응용을 탐색하며, 특히 칸 채우기 연산자와 피브라트 재구성에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 감소를 갖는 W형식을 지정된 다항형수의 초기 대수로 정의하여 표준 W형식을 일반화한다.
• 지역적으로 카르테시안 닫힘 범주에서의 내부 형식 이론을 사용하여 이러한 형식의 구조와 의미론을 분석한다.
• WISC를 만족하는 ΠW-전체에서 존재를 증명하기 위해 소형 객체 방법을 지정된 내부형수로 재해석한다.
• 기저 범주의 구조를 이용하여 WISC 없이 내부 프레시피어 범주에서 예시를 구성한다.
• 도메인 피브레이션을 통한 초기 대수와 코프리미티브 생성 awfs 사이의 관계를 규명하며, 이러한 awfs가 감소를 갖는 W형식에서 유래됨을 보여준다.
• 특히 감소 사상이 코프리미티브인 '코프리미티브' 다항형수에 집중한다. 이는 핵심 형식 이론적 구축에 충분하기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실현 가능성 토포스와 같이 예측 가능한 토포스에서, 무한한 순서수의 쌍대극한 없이도 감소를 갖는 W형식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 ΠW-전체에서 감소를 갖는 W형식의 존재를 위해 약한 선택 원리 WISC가 필수적인가?
• RQ3 감소를 갖는 W형식을 사용하여 도메인 피브레이션 위에서 코프리미티브 생성 awfs를 구성할 수 있는가?
• RQ4 코프리미티브 감소를 갖는 W형식은 CwF 내에서 n-단순화, 집합 몫, 그리고 구형과 같은 고차형식 인도티브 형식을 충분히 표현할 수 있는가?
• RQ5 감소를 갖는 W형식을 통해 구성된 awfs는 실현 가능성 토포스에서 전체 대칭 모델 구조의 일부가 될 수 있는가?

주요 결과

• WISC를 만족하는 모든 ΠW-전체에서 감소를 갖는 W형식이 존재한다. 이는 그로텐디크 토포스와 실현 가능성 토포스를 포함한다.
• 내부 프레시피어 범주에서 많은 양의 감소를 갖는 W형식은 WISC 없이도 기저 범주의 내부 논리와 구조만으로 구성 가능하다.
• 소형 객체 방법은 지정된 다항형수의 초기 대수를 구성하는 것으로 재해석될 수 있으며, 정확히 감소를 갖는 W형식에 해당한다.
• 감소 사상이 코프리미티브인 코프리미티브 감소를 갖는 W형식은 형식 이론에서 칸 채우기 연산자를 해석하는 awfs를 구성하는 데 충분하다.
• 이러한 구축은 무한한 쌍대극한이 없는 토포스에서도 적용 가능한 예측 가능하고 확장 가능한 대안을 제공하며, 무한한 쌍대극한이 없는 토포스에서도 적용 가능하다.
• 추측에 따르면 이러한 awfs는 효과적 토포스, 큐빅 어셈블리, 클레인-베슬 토포스에서 대칭 모델 구조의 일부가 될 수 있으며, 기존의 스트롬 모델 구조와 같은 구조를 확장한다.