[논문 리뷰] WAFOM on abelian groups for quasi-Monte Carlo point sets

Kosuke Suzuki|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 28.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이진 디지털 넷에서의 월러시 도메인 기여도(WAFOM)와 딕의 무게를 일반적인 유한 아벨 군으로 일반화하며, 순환군에 대해 코크스마-플라우카 유형 부등식을 수립하고, 무게 다항식에 대한 맥컬리스형 항등식을 도출한다. $ (\log N)/s $ 가 충분히 클 때, WAFOM에 대해 각각 $ N^{-C'_G (\log N)/s} $ 와 $ N^{-C_G (\log N)/s} $ 의 하한 및 상한을 증명하며, 이는 이전의 $ \mathbb{F}_2 $ 에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study quasi-Monte Carlo (QMC) rules for numerical integration. J. Dick proved a Koksma-Hlawka type inequality for $α$-smooth integrands and gave an explicit construction of QMC rules achieving the optimal rate of convergence in that function class. From this inequality, Matsumoto et al. introduced Walsh figure of merit (WAFOM) $\mathrm{WAFOM}(P)$ for an $\mathbb{F}_2$-digital net $P$ as a quickly computable quality criterion for $P$ as a QMC point set. The key ingredient for obtaining WAFOM is the Dick weight, a generalization of the Hamming weight and the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman (NRT) weight. We extend the notions of the Dick weight and WAFOM for digital nets over a general finite abelian group $G$, and show that this version of WAFOM satisfies Koksma-Hlawka type inequality when $G$ is cyclic. We give a MacWilliams-type identity on the weight enumerator polynomials for the Dick weight, by which we can compute the minimum Dick weight as well as WAFOM. We give a lower bound of WAFOM of order $N^{-C'_G(\log N)/s}$ and an upper bound of lowest WAFOM of order $N^{-C_G(\log N)/s}$ for given $(G,N,s)$ if $(\log N)/s$ is sufficiently large, where $N$ is the cardinality of the point set $P$, $P$ is a quadrature rule in $[0,1)^s$, and $C'_G$ and $C_G$ are constants depending only on the cardinality of $G$. These bounds generalize the bounds given by Yoshiki and others given for $G=\mathbb{F}_2$.

연구 동기 및 목표

• 이론적 기반을 제공하기 위해 $ \mathbb{F}_2 $-디지털 넷에서의 딕의 무게와 WAFOM 개념을 일반적인 유한 아벨 군으로 확장한다.
• 기초 군이 순환군일 경우 일반화된 WAFOM을 사용하여 준몬테카를로 적분에 대한 코크스마-플라우카 유형 부등식을 수립한다.
• 최소 딕의 무게와 WAFOM을 효율적으로 계산할 수 있도록 딕의 무게에 대한 맥컬리스형 항등식을 유도한다.
• 크기가 $ N $ 인 점 집합이 $ s $ 차원에 존재할 때, $ N $, $ s $, 군 크기 $ b = |G| $ 에 따라 최소 WAFOM의 비점근적 경계를 제공한다.
• 기존의 $ \mathbb{F}_2 $ 기반 결과에 대한 WAFOM 경계를 일반적인 유한 아벨 군으로 일반화한다.

제안 방법

• 유한 아벨 군 $ G $ 에 대해 $ G^{s \times n} $ 의 부분군에 대한 딕의 무게 $ \mu $ 를 정의하여 $ \mathbb{F}_2 $-경우를 일반화한다.
• G-디지털 넷의 품질 기준으로서 월러시 도메인 기여도(WAFOM) $ \mathrm{WF}^n(P) $ 를 도입한다.
• 딕의 무게의 무게 다항식에 대한 맥컬리스형 항등식을 증명하여 최소 딕의 무게와 WAFOM의 계산을 가능하게 한다.
• 기초 군 $ G $ 가 순환군일 경우 $ \alpha $-스무쓰 함수에 대해 코크스마-플라우카 유형 부등식을 수립하여 오차 경계를 WAFOM과 연결한다.
• 충분히 큰 $ (\log N)/s $ 에 대해 WAFOM의 하한을 $ N^{-C'_G \log N / s} $ 과 상한을 $ N^{-C_G \log N / s} $ 의 순서로 유도한다.
• 부분군의 쌍대성과 $ P^\perp $ 를 포함한 세지 계산을 이용하여 최소 딕의 무게 $ \delta_{P^\perp} $ 의 경계를 도출하고, 이를 통해 WAFOM의 경계를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딕의 무게와 WAFOM는 $ \mathbb{F}_2 $-디지털 넷에서 일반적인 유한 아벨 군으로 의미 있게 확장될 수 있는가?
• RQ2 기초 군 $ G $ 가 순환군일 경우 일반화된 WAFOM이 $ \alpha $-스무쓰 함수에 대해 코크스마-플라우카 유형 부등식을 만족하는가?
• RQ3 유한 아벨 군에서 딕의 무게에 대해 맥컬리스형 항등식을 수립하여 최소 딕의 무게와 WAFOM의 효율적 계산이 가능한가?
• RQ4 크기가 $ N $ 인 $ s $ 차원의 $ G $-디지털 넷에 대해 최소 WAFOM의 주요 순서 경계는 무엇인가?
• RQ5 WAFOM에 대한 기존의 경계는 어떻게 $ \mathbb{F}_2 $-기반 구성으로부터 일반화되는가?

주요 결과

• 기초 군 $ G $ 가 순환군일 경우 일반화된 WAFOM은 $ \alpha $-스무쓰 함수에 대해 코크스마-플라우카 유형 부등식을 만족한다.
• 딕의 무게에 대해 맥컬리스형 항등식이 수립되어, 무게 다항식을 통한 최소 딕의 무게와 WAFOM의 계산이 가능해진다.
• 최소 WAFOM에 대한 하한이 $ \mathrm{WF}^n(P) \geq b^{-C'_G d^2 / s} $ 의 형태로 도출되며, 이때 $ C'_G $ 는 $ |G| $ 에만 의존한다. $ d/s $ 가 충분히 클 경우 성립한다.
• 최소 WAFOM에 대한 상한이 $ \mathrm{WF}^n(P) \leq \left(1 + \frac{1+c}{c} \frac{1}{\log b}\right) b^{-D^2 d^2 / ((b-1)s)} e^{2Dd} $ 의 형태로 도출되며, 이때 상수들은 $ b $ 에만 의존한다.
• $ N = b^d $ 로 놓을 때, 경계는 $ N $ 에 대해 표현된다: $ N^{-C'_G \log N / s} \leq \min \mathrm{WF}^n(P) \leq \text{const} \cdot N^{-D^2 \log N / ((\log b)(b-1)s) + 2D / \log b} $.
• 이 경계들은 기존의 요시키 등이 제시한 $ \mathbb{F}_2 $-기반 경계를 일반적인 유한 아벨 군으로 일반화하여 확장한다.