[논문 리뷰] Waiting time asymptotics in the single server queue with service in random order

Onno Boxma, Sergey Foss외 2명|Data Archiving and Networked Services (DANS)|2012. 07. 18.

Advanced Queuing Theory Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 서비스 시간 분포가 무거운 尾를 가지는 단일 서버 대기열에서 서비스 순서가 무작위인 경우(RoS)의 대기 시간 꼬리 渐近적 성질을 분석한다. 포아송 도착과 정규적으로 변화하는 서비스 시간 분포(지수 $-\nu$)를 가질 때, 대기 시간 분포 역시 지수 $1-\nu$로 정규적으로 변화하며, 이에 대한 전기 계수를 명시적으로 유도하여 분산이 무한대인 $M/G/1$ 대기열에 대해 정밀한 근사한 근접한 극한을 제공한다.

ABSTRACT

We consider the single server queue with service in random order. For a large class of heavy-tailed service time distributions, we determine the asymptotic behavior of the waiting time distribution. For the special case of Poisson arrivals and regularly varying service time distribution with index -ν, it is shown that the waiting time distribution is also regularly varying, with index 1 -ν, and the pre-factor is determined explicitly. Another contribution of the paper is the heavy-traffic analysis of the waiting time distribution in the M/G/1 case. We consider not only the case of finite service time variance, but also the case of regularly varying service time distribution with infinite variance.

연구 동기 및 목표

• 서비스 순서가 무작위인 단일 서버 대기열에서 서비스 시간 분포가 무거운 꼬리일 경우의 대기 시간 분포의 渐近적 행동을 규명하는 것.
• 분산이 무한대인 서비스 시간 분포를 가진 $M/G/1$ 대기열에 대해 무거운 교통 근접 극한 정리의 확장을 이루는 것.
• 서비스 시간이 지수 $-\nu$로 정규적으로 변화할 경우 대기 시간의 정확한 꼬리 渐近적 성질을 확립하는 것.
• ROS 대기열에서 매우 긴 대기 시간이 발생하는 데 기여하는 주요 확률적 메커니즘에 대한 해석을 제공하는 것.
• ROS 제도 하에서 대기 시간 분포의 꼬리 행동이 서비스 시간 분포의 정규적으로 변화하는 성질을 그대로 이어받는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 큰 값 $x$를 초과하는 대기 시간을 네 개의 확률적으로 해석 가능한 항으로 분해하며, 각 항은 서로 다른 희귀 사건 시나리오에 대응한다.
• 하나의 큰 서비스 시간 또는 잔여 서비스 시간이 지배하는 경우를 식별하기 위해 하위지수 및 장꼬리 분포 이론을 적용한다.
• 빙거와 도니의 라플라스-스틸제스 변환 이론을 활용하여 정규적으로 변화하는 분포의 성질을 적용해, 레 과르의 대기 시간 LST 표현식으로부터 대기 시간 꼬리의 渐近적 행동을 도출한다.
• 희귀 사건(큰 서비스 시간 또는 많은 고객 수)을 포함하는 확률적 추론을 위해 '표준 사건 정리'에 기반한 추론을 사용한다.
• 꼬리 渐近적 성질을 위해 도착 과정을 동일한 평균 도착률을 가진 결정론적 과정으로 대체할 수 있음을 보여주는 감소 보조정리(Lemma D.1)를 적용하여 분석을 $D/G/1$ 유사 시스템으로 단순화한다.
• 고객 인덱스에 대한 합의 세밀한 渐近적 분석을 수행하며, 균일 수렴과 적분 근사 기법을 사용해 최종 꼬리 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서비스 시간이 분산이 무한대인 정규적으로 변화하는 분포를 가지며, 서비스 순서가 무작위인 $M/G/1$ 대기열에서 대기 시간 분포의 정확한 渐近적 행동은 무엇인가?
• RQ2 ROS 대기열에서 대기 시간 분포의 꼬리와 서비스 시간 분포의 꼬리 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 무거운 꼬리 서비스 시간을 가진 ROS 대기열에서 매우 긴 대기 시간이 발생하는 데 기여하는 주요 확률적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 대기 시간 분포의 꼬리 渐近적 성질에 영향을 주지 않고 도착 과정을 결정론적 과정으로 대체할 수 있는가?
• RQ5 서비스 시간이 지수 $-\nu$로 정규적으로 변화할 경우 대기 시간 꼬리의 渐近적 표현식에서 정확한 전기 계수는 무엇인가?

주요 결과

• 포아송 도착과 지수 $-\nu$로 정규적으로 변화하는 서비스 시간 분포를 가질 경우, 대기 시간 분포 역시 지수 $1-\nu$로 정규적으로 변화한다.
• 대기 시간 꼬리의 渐近적 표현식에서 전기 계수는 $\frac{\rho}{1-\rho}h(\rho)$로 명시적으로 결정되며, 여기서 $h(\rho)$는 교통 강도 $\rho$의 함수이다.
• 대기 시간 꼬리의 渐近적 행동은 잔여 서비스 시간이 $x$를 초과하는 사건에 의해 지배되며, 이는 꼬리에 $\rho \cdot \mathsf{P}(B^{fw} > x)$의 기여를 한다.
• 논문은 분산이 무한대인 $M/G/1$ 대기열에 대해 무거운 교통 근접 극한 정리를 확립한다.
• 꼬리 渐近적 성질은 두 가지 독립된 방법을 통해 도출되었으며, 하나는 라플라스-스틸제스 변환 분석을 통한 것이고, 다른 하나는 대기 시간 꼬리의 직접적인 확률적 분해를 통한 것이다.
• 분석 결과, 대기 시간 꼬리가 서비스 시간 분포의 정규적으로 변화하는 성질을 그대로 이어받으며, 교통 강도 $\rho$에 따라 정밀한 스케일링 계수에 의해 결정됨을 확인하였다.