[논문 리뷰] Wald tests when restrictions are locally singular

Jean‐Marie Dufour, Éric Renault외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 02.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 61인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제약 조건이 국소적으로 특이할 때 월드 검정에 대한 비표준 점근 이론을 개발한다. 즉, 자코비안 행렬이 점근적으로 질량을 잃는 경우를 의미한다. 표준 카이제곱 임계값이 크기 왜곡으로 인해 잘못될 수 있음을 보이며, 질량 일致성 공분산 추정과 일반화 역행렬을 사용하여 유효한 카이제곱 분포를 얻고 자유도를 감소시킨다.

ABSTRACT

Wald-type tests are convenient because they allow one to test a wide array of linear and nonlinear restrictions from a single unrestricted estimator; we focus on the problem of implementing Wald-type tests for nonlinear restrictions. We provide examples showing that Wald statistics in non-regular cases can have several asymptotic distributions; the usual critical values based on a chi-square distribution can both lead to under-rejections and over-rejections; indeed, the Wald statistic may diverge under the null hypothesis. We study the asymptotic distribution of Wald-type statistics for the class of polynomial restrictions and show that the Wald statistic either has a non-degenerate asymptotic distribution, or diverges to infinity. We provide conditions for convergence and a general characterization of this distribution. We provide bounds on the asymptotic distribution (when it exists). In several cases of interest, this bound yields an easily available conservative critical value. We propose an adaptive consistent strategy for determining whether the asymptotic distribution exists and which form it takes.

연구 동기 및 목표

• 귀무가설 하에서 자코비안 행렬이 점근적으로 질량이 부족할 경우 표준 월드 검정이 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 유계가 아닌 경우, 즉 극한에서 추정된 공분산 행렬이 특이하지만 유한 표본에서는 비특이한 경우 월드 통계량의 점근적 분포를 연구하기 위해.
• 기존 방법이 고유값 잘라내기에 의존하는 것과 달리, 검정 통계량의 임의적 수정을 피하는 해결책을 제공하기 위해.
• 국소 특이성 하에서 월드 통계량의 점근적 분포가 자유도가 감소한 카이제곱 분포임을 입증하기 위해.
• 표준 카이제곱 근사가 붕괴하는 조건을 도출하고, 일반화 역행렬을 사용하여 일致한 대안을 제안하기 위해.

제안 방법

• 특이한 구조를 분리하는 재매개변수화를 사용하여 국소 특이성 하에서 월드 통계량의 점근적 분포를 유도한다.
• 점근적 질량과 일致하는 질량 일치 성향을 보장하는 추정 공분산 행렬의 일반화 역행렬을 사용한다.
• 다항식 행렬의 행렬식 연속성 원리를 적용하여 월드 통계량이 자유도가 감소한 카이제곱 분포로 수렴함을 보인다.
• 원래 월드 통계량과 일반화 역행렬 및 투영 행렬을 포함한 변환된 형태 사이의 점근적 동치성을 확립한다.
• 다항식 추정량과 그 동차 성분의 수렴성을 활용하여 극한 공분산 행렬의 유효한 질량을 결정한다.
• 노름 경계와 유사 행렬의 스펙트럼 성질을 활용하여 귀무가설 하에서 검정 통계량의 행동을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 귀무가설 하에서 자코비안 행렬이 점근적으로 질량이 부족할 경우 월드 통계량의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ2 이러한 비정규적 경우에서 표준 카이제곱 임계값을 신뢰성 있게 사용할 수 있는가, 아니면 크기 왜곡을 초래하는가?
• RQ3 고유값 잘라내기나 재가중치 조정 없이도 검정을 유지할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 추정 공분산 행렬의 질량이 점근적 질량을 일관되게 추정하지 못하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 제약의 특이한 구조를 고려한 점근적 분포의 일관된 추정량을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제약 조건이 국소적으로 특이할 경우 월드 통계량은 귀무가설 하에서 발산할 수 있으며, 이로 인해 표준 카이제곱 임계값을 사용할 경우 임의의 크기 왜곡이 발생할 수 있다.
• 전체 자유도를 사용한 표준 카이제곱 근사는 제약의 함수형태에 따라 과도한 기각과 과소 기각을 모두 초래할 수 있다.
• 월드 통계량의 점근적 분포는 제약의 수가 아니라 극한 자코비안 행렬의 질량과 같은 자유도를 가진 카이제곱 분포이다.
• 점근적 질량과 일치하는 추정 공분산 행렬의 일반화 역행렬 사용은 자유도가 감소한 카이제곱 분포로 복구한다.
• 고유값 잘라내기와 같은 임의적 수정을 피함으로써 기대력 손실과 일관성 없는 추론을 방지한다.
• 점근적 분포는 다항식 행렬식의 연속성과 동차 다항식 성분의 일관된 추정을 통해 도출되며, 이는 국소 특이성 하에서도 유효성을 보장한다.