[논문 리뷰] Warped cones and proper affine isometric actions of discrete groups on Banach spaces

Qin Wang, Zhen Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이완된 콘(warped cones)이 $L_p$-공간으로의 섬세한 거리적 매장(fibred coarse embeddability)과 이산군이 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 갖는 것 사이의 정확한 대응 관계를 확립한다. 이는 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$가 $L_p$-공간($1 \leq p < \infty$)으로 섬세한 거리적 매장을 갖는다 하는 것과 군 $\Gamma$가 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 갖는다는 것이 상호 필요충분조건임을 증명하며, 이는 안정적인 바나흐 공간의 클래스로까지 확장된다. 이 결과는 어떤 $L_p$-공간으로도 거리적으로 매장되지 않는 특정 이완된 콘들에 대해서도 최대 거리적 Baum–Connes 및 거리적 Novikov 추측이 성립함을 시사한다.

ABSTRACT

Warped cones are metric spaces introduced by John Roe from discrete group actions on compact metric spaces to produce interesting examples in coarse geometry. We show that a certain class of warped cones $\mathcal{O}_Γ(M)$ admit a fibred coarse embedding into a $L_p$-space ($1\leq p

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 위에 올바른 아핀 등거리 군 작용을 통해 이완된 콘의 섬세한 거리적 매장성의 특성화를 확립하는 것.
• 이완된 콘의 기하적 성질과 거리적 Baum–Connes 및 Novikov 추측과 같은 분석적 추측 간의 연결 고리를 확장하는 것.
• Druźtu와 Nowak의 추측을 해결하기 위해, 특정 이완된 콘들이 섬세한 거리적 매장을 갖지 않는 한계에서만 거리적 Baum–Connes 추측의 반례가 될 수 있음을 보이는 것.
• 힐베르트 공간에서 $L_p$-공간과 기타 안정적인 바나흐 공간, 예를 들어 균일하게 볼록하거나 비자명한 유형을 갖는 공간으로 결과를 일반화하는 것.
• 특정 비매장 가능한 이완된 콘들에 대해 최대 거리적 Baum–Connes 및 거리적 Novikov 추측의 타당성을 증명하기 위해 특성화를 고급 지표 이론에 적용하는 것.

제안 방법

• 로우의 이완된 거리 구조를 이용해 이산군의 컴acts metric space 위 작용으로부터 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$을 구성한다.
• 변환군에 대한 선형화 기법을 사용해 $M$ 위의 군 작용을 $L_2(M)$ 위의 유니터리 표현으로 연결하고, 이를 $L_p$-공간으로 확장한다.
• S. Arnt의 최근 결과를 적용하여, $L_p$-공간으로의 섬세한 거리적 매장이 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 유도함을 보인다.
• 바나흐 공간의 초곱과 르베그-보흐너 $L_p$-공간의 안정성 성질을 활용해, $L_p$-공간을 초월해 균일하게 볼록하거나 비자명한 유형을 갖는 공간과 같은 클래스로 결과를 일반화한다.
• 기존의 $K$-이론과 어셈블리 맵 결과를 활용해, 섬세한 거리적 매장성으로부터 거리적 Baum–Connes 및 Novikov 추측의 타당성을 유도한다.
• 특정 예시들, 예를 들어 $\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$와 초순수 완비화를 갖는 하이퍼볼릭 군들에 대해 특성화를 적용하여, 매장되지 않는 공간들에 대해서도 추측의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$가 $L_p$-공간으로 섬세한 거리적 매장을 갖는다는 것과 군 $\Gamma$가 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 갖는다는 것이 상호 필요충분조건인가?
• RQ2 이완된 콘들이 어떤 $L_p$-공간으로도 거리적으로 매장되지 않는 경우에도 거리적 Baum–Connes 및 Novikov 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 이 특성화는 힐베르트 공간에서 $1 \leq p < \infty$인 $L_p$-공간이나 균일하게 볼록 공간과 같은 다른 안정적인 바나흐 공간 클래스로 얼마나 넓히는가?
• RQ4 잔여 유한군 $\Gamma$의 초순수 완비화 $\widehat{\Gamma}((\Gamma_n))$는 군 $\Gamma$가 $G$ 위에 작용하는 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(G)$의 섬세한 거리적 매장성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $\Gamma$와 $M$에 어떤 조건이 성립하면 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$가 $L_p$-공간으로 섬세한 거리적 매장을 갖는가?

주요 결과

• 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(M)$가 $L_p$-공간($1 \leq p < \infty$)으로 섬세한 거리적 매장을 갖는다 하는 것과 이산군 $\Gamma$가 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 갖는다는 것은 상호 필요충분조건이다.
• 이 등가성은 초곱과 르베그-보흐너 $L_p$-공간에 대해 안정적인 모든 바나흐 공간 클래스로 확장되며, 균일하게 볼록 공간과 비자명한 유형을 갖는 공간도 포함된다.
• $\mathcal{O}_{\mathbb{F}_2}(\text{SU}(2))$에 대해 최대 거리적 Baum–Connes 추측이 성립한다. 이는 $1 \leq p < \infty$이면 어떤 $L_p$-공간으로도 거리적으로 매장되지 않는 이완된 콘이다.
• 거리적 Novikov 추측은 $\Gamma$가 유한생성된 하이퍼볼릭 군이고 $G$가 컴팩트 메트라이즈블 군이며 $\Gamma$가 $G$의 조밀한 부분군으로 포함되며 유한한 기하학적 성질을 갖는 경우, 이완된 콘 $\mathcal{O}_\Gamma(G)$에 대해 성립한다.
• 임의의 컴팩트 리군 $G$의 가산 부분군 $\Gamma$에 대해, $G$가 국소적으로 $\text{SO}(3)^k \times \text{U}(1)^m$와 등거리일 경우, $\mathcal{O}_\Gamma(G)$에 대해 최대 거리적 Baum–Connes 및 거리적 Novikov 추측이 성립한다.
• 이전의 박스 공간(box spaces) 연구를 일반화한다: $\Box_{\{\Gamma_n\}}\Gamma$가 $L_p$-공간으로 섬세한 거리적 매장을 갖는다 하는 것과 군 $\Gamma$가 $L_p$-공간 위에 올바른 아핀 등거리 작용을 갖는다는 것은 동치이다.