[논문 리뷰] Warped Product Pointwise Bi-slant Submanifolds of Kaehler Manifolds

Bang‐Yen Chen, Siraj Uddin|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 켈러 다양체에서의 왜곡 곱 점별 이슬래시브 부분다양체를 도입하고 특성화하며, 이전의 왜곡 곱 슬래시브 및 이슬래시브 부분다양체 이론을 일반화한다. 주요 기여는 이러한 부분다양체가 국소적으로 왜곡 곱임을 보장하는 충분조건을 제시하는 것으로, 이 조건은 형상 연산자와 거의 복소構조를 포함한 텐서 방정식으로 표현되어 있으며, 기존의 CR, 준슬래시브, 반슬래시브 부분다양체 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Warped product manifolds have been studied for a long period of time. In contrast, the study of warped product submanifolds from extrinsic point of view was initiated by the first author around the beginning of this century in [7, 8]. Since then the study of warped product submanifolds has been investigated by many geometers. The notion of slant submanifolds of almost Hermitian manifolds was introduced in [5]. Bi-slant submanifolds in almost contact metric manifolds were defined in [4] by J. L. Cabrerizo et al. In [26], we studied bi-slant submanifolds and warped product bi-slant submanifolds in Kaehler manifolds. In this article, we investigate warped product pointwise bi-slant submanifolds of Kaehler manifolds. Our main results extend several important results on warped product slant submanifolds obtained in [7, 21-23, 27].

연구 동기 및 목표

• 켈러 다양체에서의 왜곡 곱 부분다양체 이론을 점별 이슬래시브 부분다양체의 경우로 확장하기 위해.
• 점별 슬래시브 각도를 통합함으로써 기존의 왜곡 곱 슬래시브 및 이슬래시브 부분다양체 이론을 일반화하기 위해.
• 점별 이슬래시브 부분다양체가 왜곡 곱 구조를 갖는 데 필요한 충분한 기하 조건을 확립하기 위해.
• CR, 준슬래시브, 반슬래시브 왜곡 곱 부분다양체 이론을 하나의 프레임워크 안에서 통합하고 일반화하기 위해.
• 이전의 서술 방식을 수정하고 보완하기 위해, 예를 들어 [23]의 정리 5.1에서 누락된 항을 식별하기 위해.

제안 방법

• 두 개의 직교 분할분포 D₁, D₂와 점별 슬래시브 각도 θ₁, θ₂를 통해 점별 이슬래시브 부분다양체의 개념을 도입한다.
• 가우스 및 바이팅거 공식을 적용하여 리만 연결과 제2 기본형을 접선 및 법선 성분으로 분해한다.
• 형상 연산자 A_N과 거의 복소構조 J를 포함한 핵심 텐서 방정식(식 4.12)을 유도하며, ∇_X Y의 법선 성분이 왜곡 함수 μ의 기울기와 관련됨을 규명한다.
• 분포 D₂가 적분 가능하고, 그의 잎들이 평균 곡률 벡터 H₂ = -∇μ를 가진 전적으로 윤곽이 잡힌다는 조건을 적용하여 히프코의 정리를 적용한다.
• 유도된 텐서 방정식이 성립할 경우, Hiepko의 정리를 적용하여 부분다양체가 국소적으로 왜곡 곱임을 결론짓는다.
• 일반적 결과가 기존의 사례들—CR, 준슬래시브, 반슬래시브, 점별 반슬래시브 왜곡 곱—로 올바르게 축소됨을 보여 기각 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 켈러 다양체의 점별 이슬래시브 부분다양체가 어떤 기하적 조건을 만족할 경우 국소적으로 왜곡 곱이 되는가?
• RQ2 왜곡 곱 구조는 기존의 CR, 준슬래시브, 반슬래시브 부분다양체 이론을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 왜곡 곱 구조를 위한 조건을 제2 기본형과 거의 복소構조만으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 예를 들어 [23]의 정리 5.1에서와 같이 이전의 서술 방식에 어떤 수정이나 보완이 필요한가?
• RQ5 혼합적으로 전적으로 기하학적 조건이 점별 이슬래시브 왜곡 곱 부분다양체의 분류에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 켈러 다양체에 있는 점별 이슬래시브 부분다양체 M은 형상 연산자와 왜곡 함수의 기울기와 관련된 텐서 방정식(4.12)이 성립할 때이고, 오직 그 때에만 국소적으로 왜곡 곱임을 보장한다.
• 조건(4.12)는 θ₁ = 0, θ₂ = π/2일 때 기존의 CR-왜곡 곱 조건으로 올바르게 축소되며, 이는 [7]의 정리 4.2를 복원한다.
• θ₁ = 0, θ₂ = θ(슬래시브 함수)일 경우 결과는 점별 준슬래시브 왜곡 곱을 일반화하며, 이전 방정식에서 누락된 항(1−cos²θ 대신 1+cos²θ)을 수정함으로써 보완된다.
• θ₁ = θ(일정), θ₂ = π/2인 경우 결과는 반슬래시브 왜곡 곱을 일반화하며, 혼합적으로 전적으로 기하학적 조건이 왜곡 곱 구조 성립에 필요하지 않음을 보여준다.
• 점별 반슬래시브 부분다양체(θ₁ = π/2, θ₂ = θ)의 경우 유도된 조건은 [27]의 정리 4.2와 일치하며, 이 결과의 일반화를 확인한다.
• 혼합적으로 전적으로 기하학적 조건을 사용하면 제2 기본형의 제곱 노름을 유계화할 수 있으며, 이 조건 하에서 부분다양체는 리만 곱 또는 M_θ ×_f M_⊥ 형태의 왜곡 곱이며, 여기서 M_θ는 점별 슬래시브이고 M_⊥는 완전히 실수 부분다양체이다.