[논문 리뷰] Wasserstein-2 bounds in normal approximation under local dependence

Xiao Fang|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스텐의 방법과 이阶 도함수 함수의 渐近 전개를 이용하여 국소적으로 종속된 랜덤 변수들의 합에 대한 일반적인 워싱거스타인-2 거리 유계를 수립한다. 핵심 결과는 제3 및 제4차 모멘트 및 이웃 종속 구조를 포함한 명시적 유계를 제공하며, m-의존 수열, U-통계량, 에르되시-레니 수반 그래프의 부분그래프 수에 응용되며, 일반 p에 대한 p-워싱거스타인 유계에 대한 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We obtain a general bound for the Wasserstein-2 distance in normal approximation for sums of locally dependent random variables. The proof is based on an asymptotic expansion for expectations of second-order differentiable functions of the sum. We apply the main result to obtain Wasserstein-2 bounds in normal approximation for sums of $m$-dependent random variables, U-statistics and subgraph counts in the Erdős-Rényi random graph. We state a conjecture on Wasserstein-$p$ bounds for any positive integer $p$ and provide supporting arguments for the conjecture.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 종속된 랜덤 변수들의 합에 대한 일반적인 워싱거스타인-2 거리 유계를 정규 근사에서 유도하기.
• 기존의 워싱거스타인-1 및 코모고로프 거리 유계 결과를 국소 종속 하에서 워싱거스타인-2 거리로 확장하기.
• 제3 및 제4차 모멘트 및 이웃 종속 구조를 포함한 명시적 유계 제공하기.
• 주요 결과를 m-의존 수열, U-통계량, 에르되시-레니 무작위 그래프의 부분그래프 수에 적용하기.
• 모든 양의 정수 p에 대해 p-워싱거스타인 유계에 대한 추측을 제기하고 이를 뒷받침하기.

제안 방법

• 스텐의 방법을 사용하여 합 W의 이阶 도함수 함수의 기댓값에 대한 渐近 전개를 도출하기.
• Zolotarev의 2차 이상 이상 거리의 이상 거리를 사용하여 W와 i.i.d. 랜덤 변수들의 합 사이의 워싱거스타인-2 거리를 제어하기.
• 삼각 부등식과 i.i.d. 합에 대한 알려진 워싱거스타인-2 유계를 활용하여 W와 표준 정규 분포 사이의 거리를 유계하기.
• 각 X_i에 대해 수축하는 이웃 영역 A_i, A_ij, A_ijk를 포함하는 세 조건 (LD1)–(LD3)를 통해 국소 종속성 정의하기.
• 오차 항을 제어하기 위해 제4차까지의 모멘트 전개를 사용하기.
• 고차 모멘트 전개와 얀의 부등식을 통한 유사한 渐近 전개를 바탕으로 p-워싱거스타인 유계에 대한 추측을 뒷받침하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 종속된 랜덤 변수들의 합에 대한 정규 근사에서 최적의 워싱거스타인-2 거리 유계는 무엇인가?
• RQ2 스텐의 방법과 渐近 전개는 국소 종속 하에서 워싱거스타인-2 거리를 유계하기 위해 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ3 p=2에 사용된 접근 방식은 임의의 양의 정수 p에 대해 p-워싱거스타인 거리 유계를 도출하기 위해 일반화될 수 있는가?
• RQ4 m-의존 수열, U-통계량, 에르되시-레니 무작위 그래프의 부분그래프 수에 대해 워싱거스타인-2 거리의 명시적 모멘트 기반 유계는 무엇인가?
• RQ5 종속성 구조와 모멘트에 어떤 조건이 정규 근사에서 타이트한 워싱거스타인-2 유계를 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathcal{W}_2(\mathcal{L}(W), N(0,1)) \leq C[|\beta| + (\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3)^{1/2}]$ 형태의 워싱거스타인-2 유계를 수립한다. 여기서 $\beta$는 제3차 종속성을 캡처하고 $\gamma_i$는 고차 모멘트 기여도를 측정한다.
• 이 유계는 m-의존 수열, U-통계량, 에르되시-레니 무작위 그래프의 부분그래프 수에 적용되며, 종속성 이웃 영역과 모멘트에 기반한 명시적 속도를 제공한다.
• 증명 기법은 스텐의 방법과 이阶 도함수 함수의 渐近 전개, Zolotarev의 2차 이상 이상 거리를 조합한 것이다.
• 저자들은 고차 모멘트 전개와 얀의 부등식을 바탕으로 유사한 유계가 모든 양의 정수 p에 대해 성립할 것이라는 추측을 뒷받침하는 근거를 제시한다.
• 수축하는 이웃 영역 A_i, A_ij, A_ijk를 사용한 국소 종속성 구조를 통해 방법이 약한 종속성에 대해 강건함을 보였다.
• 이 결과는 바르부르, 카로니스키, 루치니(1989)의 이전 워싱거스타인-1 유계를 일반화하며, 국소 종속성을 가진 비-i.i.d. 설정으로 정규 근사의 범위를 확장한다.