[논문 리뷰] Wasserstein Barycenters over Riemannian manifolds

Young‐Heon Kim, Brendan Pass|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 24.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 조건 하에서 리만다이니안 다양체 위에서 워셔스타인 바리센터의 존재성, 유일성 및 절대연속성을 확립하며, 유클리드 및 두 측도 결과를 다중모멘트 및 유한하지 않은 측도 분포로 확장한다. 주요 기여는 비음성 리치 곡률을 가진 다양체 위에서의 랜덤 가측 집합에 대한 일반화된 브룬-민코프스키 부등식으로, 이는 $k$-이동 볼록성과 $W_2$ 거리로 장비된 확률측도 공간 위에서의 워셔스타인 젠센의 부등식을 통해 유도된다.

ABSTRACT

We study barycenters in the space of probability measures on a Riemannian manifold, equipped with the Wasserstein metric. Under reasonable assumptions, we establish absolute continuity of the barycenter of general measures $Ω\in P(P(M))$ on Wasserstein space, extending on one hand, results in the Euclidean case (for barycenters between finitely many measures) of Agueh and Carlier \cite{ac} to the Riemannian setting, and on the other hand, results in the Riemannian case of Cordero-Erausquin, McCann, Schmuckenschläger \cite{c-ems} for barycenters between two measures to the multi-marginal setting. Our work also extends these results to the case where $Ω$ is not finitely supported. As applications, we prove versions of Jensen's inequality on Wasserstein space and a generalized Brunn-Minkowski inequality for a random measurable set on a Riemannian manifold.

연구 동기 및 목표

• 유럽 공간 및 두 측도 사례에서의 워셔스타인 바리센터 이론을 일반적인 분포를 가진 리만다이니안 다양체로 확장하는 것.
• 약간의 기하적 가정 하에 바리센터가 체적 측도에 대해 절대연속이 되도록 보장하는 것.
• 비음성 리치 곡률을 가진 리만다이니안 다양체 위에서 새로운 기하학적 및 함수적 부등식—특히 곡률이 있는 랜덤 브룬-민코프스키 부등식—을 유도하는 것.
• 리만다이니안 다양체 위의 워셔스타인 공간에 대해 $k$-이동 볼록 함수형으로 젠센의 부등식을 일반화하는 것.

제안 방법

• 유계 리만다이니안 다양체 $M$ 위의 Borel 확률측도 공간 $P(M)$ 상의 확률측도 $\Omega$ 위에서 $W_2^2$-거리 기능의 최소화자로 바리센터를 수학적으로 정의하는 것.
• 리만다이니안 다양체 위의 최적 운반 이론을 적용하여 최적 매핑의 존재성과 유일성 및 그의 자코비안 행렬식을 다루는 것.
• 워셔스타인 공간 내에서 바리센터에서의 일阶 및 이阶 균형 조건을 사용하여 미분 가능성과 곡률 영향을 분석하는 것.
• $k$-이동 볼록 함수형, 예를 들어 엔트로피 및 거듭제곱형 함수형의 $k$-이동 볼록성을 확립하여 일반화된 젠센의 부등식을 도출하는 것.
• 워셔스타인 젠센의 부등식과 로그 및 거듭제곱 함수형의 $k$-이동 볼록성을 조합하여 랜덤 브룬-민코프스키 부등식을 도출하는 것.
• 일반적인 측도 $\Omega$의 바리센터가 체적 측도에 대해 절대연속임을 증명하여, 유한지지에서 일반 $\Omega$로 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만다이니안 다양체 위의 일반적인 확률측도 $\Omega$에 대해 워셔스타인 바리센터가 리만다이니안 체적 측도에 대해 절대연속이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 리만다이니안 다양체 위의 워셔스타인 공간에서의 함수형에 대해 젠센의 부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 비음성 리치 곡률을 가진 리만다이니안 다양체 위에서의 랜덤 가측 집합에 대해 브룬-민코프스키 부등식의 형태는 어떠한가?
• RQ4 $k$-이동 볼록 함수형이 $P(M)$ 위에서 어떻게 곡률이 있는 공간에서 새로운 기하학적 부등식을 이끌어내는가?
• RQ5 확률측도 $\Omega$가 유한지지가 아닌 경우에도 바리센터가 여전히 절대연속임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 확률측도 $\Omega$에 대해 리만다이니안 다양체 위의 워셔스타인 바리센터는 약간의 가정 하에 리만다이니안 체적 측도에 대해 절대연속이며, 이는 유한지지 및 두 측도 사례의 결과를 확장한다.
• 일반화된 워셔스타인 젠센의 부등식이 $k$-이동 볼록 함수형에 대해 확립되었으며, 엔트로피 함수형 $\rho \mapsto \int \rho \log \rho \, d{\rm vol}$ 는 $K \geq 0$ 일 때 $k$-이동 볼록이다.
• 거의 확실하게 $\nu(X) > 0$ 인 랜덤 가측 집합 $X$에 대해, $N = \infty$ 일 때 $\log \nu(Z(X)) \geq \mathbb{E}[\log \nu(X)] + \frac{k}{2}\alpha(X)$ 이 성립한다. 여기서 $Z(X)$ 는 $X$ 내 점들의 바리센터 집합이다.
• 만약 $N < \infty$ 이고 $K \geq 0$ 이면 $\nu(Z(X))^{1/N} \geq \mathbb{E}[\nu(X)^{1/N}]$ 이 성립하며, 이는 고전적인 브룬-민코프스키 부등식을 곡률이 있는 공간으로 일반화한다.
• 랜덤 집합 $X$ 가 거의 확실하게 고정된 유계 집합 $B$ 내에 포함되어 있으면, 결과는 완전하고 비유계 다양체로도 확장된다.
• 확률측도 $\Omega$ 의 $\omega \mapsto \mu_X$ 에 의한 프로젝션의 바리센터 $\bar{\mu}$ 는 $\text{supp}(\bar{\mu}) \subseteq Z(X)$ 를 만족하여 바리센터의 지지 집합이 랜덤 집합의 바리센터 집합 내에 있음을 보장한다.